Принцип инвариантности для случайных процессов и полей с перемешиванием

• Автор: Порывай, Денис Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с.

Основные обозначения

Глава 1. Принцип инвариантности для процессов

частных сумм индексированных множествами

1.1 Сходимость конечномерных распределений процессов частных сумм

1.2 Плотность рандомизированных процессов

частных сумм в пространстве С(А)

1.3 Плотность процессов частных сумм в пространстве П[0,1]й

Глава 2. Принцип инвариантности для условных эмпирических процессов

2.1 Асимптотическая нормальность оценки Надарая и Ватсона

2.2 Плотность условных эмпирических процессов

2.3 Асимптотическая нормальность оценки аргумента

максимума регрессионной функции
2.4 Асимптотическая нормальность локально полиномиальных оценок
Список литературы

Основные обозначения
N - множество натуральных чисел,
Ъ - множество целых чисел,
R - множество действительных чисел,
93 - борелевская сг-алгебра подмножеств Е,
М+ - множество действительных неотрицательных чисел,
если а, Ь Є Е, то а Ab = min{o, Ь}, aJb = тах{а, Ь}, [а] - целая часть числа
а, sgn а - знак числа а,
Ид - индикатор множества А,
Iй - d-мерный единичный куб [0,l]d,
Хг - транспонированная матрица X,
X - некоторый класс измеримых действительнозначных функций, заданных на польском пространстве X,
А - некоторое семейство борелевских подмножеств Г1,
С (А) - пространство непрерывных действительных функций, заданных на А и снабженное sup-нормой,
D[0, 1]J - пространство Скорохода функций, определённых на Id, если борелевское множество G С то |G| - мера Лебега в Мф если G С 7Ld, то ЛG - мощность G, если j Є RJ, то j = maxi^d jk,
(0,5, Р) - вероятностное пространство1,
Е - символ математического ожидания,
Var - символ дисперсии,
cov(X, Y) - ковариация случайных величин X и Y,
а{Хі,і Є Т} -наименьшая <т-алгебра, порожденная случайными элементами Хі} і Є Т (в (0,5, Р)),
Хп X - сходимость Хп по распределению кХ(п4 оо),
Хп —> X - сходимость Хп по вероятности к X (п -> оо).
'обычно а-алгебра измеримых множеств вероятностного пространства обозначается Эг, однако, этот символ нами уже занят для семейства функций

Исследование асимптотических свойств различных классов случайных процессов и полей занимает важное место в теории вероятностей и математической статистике. Решение большинства статистических задач, таких как проверка гипотез или построение критических областей, основано на предельных соотношениях для выборочных статистик, то есть на аппроксимации распределений вероятностей одних процессов (полей) другими. Теоремы об асимптотических распределениях в теории вероятностей и математической статистике во многом опираются на теорию слабой сходимости вероятностных мер в метрических пространствах (см., например, [2]), развитие которой связано прежде всего с именами А. Н. Колмогорова, Дж. Дуба, М. Донскера, Ю.В. Прохорова, A.B. Скорохода, В.М. Золотарёва, A.A. Боровкова, Р. Дадли, К. Ферника, JI. Ле Кама, С. Варадарайна и других учёных.
Целью данной диссертационной работы является исследование предельных закономерностей таких объектов, как процессы частных сумм, индексированные множествами, условные эмпирические процессы и ядерные регрессионные оценки, образованных перемешивающимися случайными величинами.
Во многих задачах асимптотической теории изучается поведение определенным образом нормированных сумм случайных величин или случайных векторов в различных функциональных пространствах. Как правило, указанные суммы берутся по конечным множествам индексов растущих в определённом смысле к бесконечности. В наиболее простом случае множества индексов расположены на целочисленной прямой, однако вопросы изучения многомерных структур в статистической физике ([12]) требуют рассмотрения множеств индексов более сложной природы, например, образующих некоторый подкласс множеств на целочисленной решётке U1. При изучении эмпирических процессов наряду с понятием индексирующих множеств используется понятие индексирующих функций, когда суммируются не сами случайные элементы, а значения функции от них, принадлежащей

При вводимых ниже условиях ковариационная функция предельного гауссовского процесса оказывается такой же, как у предела процессов мп(/|а;), построенных по последовательности £ независимых с.в.
Всюду далее предполагается, что ж е Ж фиксировано и р{х) > 0. Введём также следующие наборы условий.
А1. Функция ^(/1/2|г) непрерывна, а функции р{£) и Р(/г) дважды непрерывно дифференцируемы ПО 2 в некоторой окрестности точки х для всех /1, /2, / е Т.
А2. Пусть ядро К ограничено на Ж и удовлетворяет следующим соотношениям:
[ К(г)с1г= 1, [ г2К(г)йг< оо,
Ум Ум
К {—г) = К (г) для 2 6 Ж, г3 К (г) —> 0 при г —» оо.
АЗ. Плотность р(г) ограничена на Ж. Совместное распределение (Х,Хк), где к > 1, имеет плотность рк{%1,2к) по мере Лебега такую, что
8иР(г1Л)емз рк(гх,гк) < ОО.
А4. Ъ — кп таковы, что у/пИ5 —> Со < оо и пИ -+ оо при п —> оо. Пусть пЬ?1 -+ оо и п/г*2 -> 0 при некоторых й1 < 5 и йг > 1.
А5. Е|/(Уо)|р < оо для всех /ё?и ац«,(п) = 0{п~ь) при п —> оо, где
12 6 р > V V 4 и
51 + 1 в1
, 2 р р((51 + 3)р-12) р((з2 + 3)р-8)
р — 4 (р-2)((в1 + 1)р-12) 2(р — 1)(р — 4) '
А5’. Е|/(Уо)|р < оо для всех / € Л" и <р1гО0(п) = 0(п~ь) при п —У оо, где
12 6 „ , 2р(р-2) (в2 + 1)р
Р > 7 V 7 V 4 и Ь > —~~гт—г V 1 п
51 + 1 51 -1 (р-1)(р-4) 2(р — 4)
Теорема 2.1. Пусть справедливы условия А1 - А4, А5 (или А5’). Тогда для каждого т ^ 1 и любых Д /т € Т имеем
К(Д|я), • - •, ^(/т!®)) >Г(сор(®), Е2) при п -+ оо,