Локальные времена и их применение в стохастическом и вещественном анализе

• Автор: Насыров, Фарит Сагитович
• Шифр специальности: 01.01.05, 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 232 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. Общая характеристика работы .

ГЛАВА I. ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА ФУНКЦИЙ, ОБЛАДАЮЩИХ СВОЙСТВОМ С. ОБОБЩЕННОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ЛЕБЕГА НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ.

1. О распре деле нии локального времени функций, обладающих

свойством С

2. Непрерывность функции по переменной и

невозрастающая перестройка локального времении аг,и.

3. О задаче возмущения функций и случайных процессов.

4. О размерности Хаусдорфа множеств уровня функций и

случайных процессов, удовлетворящих условию С

5. Локальные времена и времена, обратные к ним. Разложение

Лебега непрерывной функции, обладающей свойством С.
6. Обобщенное разложение Лебега произвольной непрерывной
функции. Свойства вполне регулярной функции Хэ, у довле творящей
условию С.
Комментарии и замечания к главе 1.
ГЛАВА 2. ЛОКАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ.
7. Броуновское локальное время.
8. О классической формуле Ито.
9. О траекториях локальных времен случайных процессов
. Об ортогональном разложении локальных времен
. О производной локального времени броуновского листа по
пространственной переменной.
Комментарии и замечания к главе 2
ШВА 3. ОБОБЩЕННЫЕ ПОТРАЕКТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТИПА СТРАТОНОВИЧА
Введение
. Симметричные интегралы и их применение в стохастическом
анализе .
. Обобщенный интеграл Ито детерминированный случай.
. Стохастические обобщенные интегралы Ито .
Комментарии и замечания к главе 3.
ЛИТЕРАТУРА


Кроме того, получены формулы стохастического исчисления Ито, обобщающие формулу Танаки для броуновских локальных времен, что позволило выразить время пребывания процесса ? Ру(1;,х) в виде суммы, содержащей стохастические интегралы. Х(т;)| = ? С1). Получены некоторые формулы обратного стохастического исчисления Ито, в котором участвует процесс ? Скорохода. Наконец, получено одно равенство, обобщающее уравнение Скорохода для броуновских локальных времен. В § 8 получены некоторые обобщения формулы Ито в случае винеровского процесса Х(б). Найдено представление для определенного класса стохастических интегралов Ито в виде потраекторного интеграла Лебега, получены различные обобщения формул Ито и Танаки. Отдельно рассматривается случай гассовских процессов. Кроме того, для одного класса гауссовских процессов получено обобщение закона повторного логарифма Кестена для локальных времен. X 1(8Д(8))<1В (0. Т,х), Те, хеН, для этого класса процессов. Получено и ортогональные разложения локального времени а(Т,У(э)), Те®, эб[ОД] и локального времени вдоль траектории ? Указанные результаты используются при доказательстве предельных теорем для функционалов вида (0. Последние результаты близки к исследованиям, проведенных в работах [,,,,1. В § II решается задача нахождения производной локального времени броуновского листа по пространственной переменной. Найдены явные выражения производной по переменной х локальных времен для броуновского листа в виде суммы, содержащей стохастические интегралы по броуновскому листу. Полученные формулы являются, в определенном смысле, обобщениями формулы Танаки для броуновских локальных времен. Отметим, что ранее из работы Ю. А.Давыдова и А. А.Розина [ следовало лишь существование локальных времен для броуновского листа, реализации которых дифференцируемы по х, однако вид производных был совершенно неясен. Основная цель главы 3 - построение потраекторных аналогов стохастического исчисления Стратоновича и Ито. Тематика этой главы восходит к работе Фелмера С1, где показано, что при определенных условиях, налагаемых на детерминированную функцию ограниченной квадратической вариации и делающим ее "похожей” на типичную траекторию винеровского процесса, построены потраекторные интегралы Ито. В работах автора ([,-,-,1) были построены различные потраекторные аналоги интегралов типа Стратоновича по непрерывным функциям и интегралов Ито по определенному классу непрерывных функций р-ограниченной вариации, р^1. В этой главе вводятся следующие конструкции. Конструкция симметричных интегралов по непрерывным функции. Хеллингера, а с точки зрения теории случайных процессов -стохастических интегралов Стратоновича. В работе показано, что симметричные интегралы для определенного класса (подынтегральных) функций могут быть построены по произвольной непрерывной функции (любому случайному процессу с непрерывными реализациями). Конструкция обобщенных интегралов Ито по некоторому классу функций ф-ограниченной вариации. Обобщенные интегралы Ито являются весьма простым аналогом классических интегралов Ито и естественным является тот факт, что при определенных условиях обобщенный интеграл Ито по винеровскому процессу совпадает с классическим итовским интегралом. Оказалось, что возможно построение потраекторного исчисления Ито по процессу дробного броуновского движения и ряду других гауссовских процессов, без обычных предположений предсказуемости. Основной техникой, систематически применяемой в данной главе, оказался аппарат теории локальных времен. В § рассматривается случай отдельной траектории случайного процесса, для которой определяются обобщенные интегралы типа Стратоновича. Предложена конструкция симметричного интеграла, являющаяся модификацией детерминированных интегралов Хеллингера (см. Стратоновича. Для симметричных интегралов доказаны варианты формулы Ньютона-Лейбница. В то же время, насколько известно автору, для интегралов Хеллингера формула Ньютона-Лейбница неизвестна (и неизвестно, можно ли ее, вообще говоря, доказать), и в этом существенное преимущество симметричных интегралов.