Предельные теоремы для случайных процессов со случайной заменой времени

• Автор: Пермякова, Елена Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 105 с.

Содержание
Введение
1. Предельные теоремы для процессов со случайной заменой времени
1.1. Предварительные сведения
1.2. Предельные теоремы для процессов со случайной заменой времени
1.3. Сходимость случайных сумм
1.4. Предельные теоремы о сходимости к а-устойчивым случайным процессам
1.5. Предельные теоремы о сходимости к а-устойчивым случайным процессам со случайной заменой времени
1.6. Сходимость случайных процессов, зависящих от случайного параметра
1.7. Последовательности случайных величин со случайным индексом
2. Сходимость ступенчатых случайных процессов к обобщенному пуассоновскому процессу
2.1. Формулировка задачи и основных результатов
2.2. Предварительные результаты
2.3. Доказательство основной теоремы
3. Оценки скорости сходимости и некоторые приложения к страховой математике
3.1. Оценки скорости сходимости
3.2. Следствия теоремы об оценке скорости сходимости

3.3. Приложения к страховой математике теоремы о сходимости ступенчатых случайных процессов к обобщенному пуассоновскому процессу
3.4. Приложения к страховой математике теорем о сходимости случайных сумм
4. Версии почти наверное предельных теорем
4.1. Предварительные сведения
4.2. Версии почти наверное предельных теорем о сходимости случайных процессов со случайной заменой времени
4.3. Версии почти наверное теорем о сходимости к а-устойчивым случайным процессам
4.4. Версии почти наверное теорем о сходимости процессов Леви со случайной заменой времени
4.5. Версия почти наверное теоремы о сходимости последовательностей случайных величин со случайным индексом
Литература

Введение
Предельные теоремы являются одной из наиболее развитых и важных частей теории случайных процессов. С точки зрения приложений особый интерес представляют случайные процессы со случайной заменой времени (суперпозиция случайных процессов). Интерес к подобным задачам первоначально возник в связи с рядом задач в страховой и финансовой математике, физике, теории массового обслуживания, теории надежности (см., например, [5], [33], [28], [46], [27], [25], [26]). Насколько нам известно, впервые попытка систематического изучения общих условий слабой сходимости распределений сложных случайных функций, представляющих собой суперпозицию случайных процессов без разрывов второго рода, была предпринята Д.С. Сильвестровым (в 1974 году вышла в свет монография [3]). В тесной связи с этой задачей находятся задачи о сходимости марковских процессов, остановленных в случайные моменты времени (см., например, [67], [64], [65]), устойчивых случайных процессов со случайными параметрами (например, [6]), сходимости случайных сумм и процессов Кокса (исследования Королева В.Ю, Круглова В.М., Бенинга В.E., Шоргина С.Я., Кащеева Д.Е., Кудрявцева A.A. [46], [33], [68], [23]) и пр. Часто решения таких задач также могут быть получены из общих теорем о сходимости случайных процессов со случайной заменой времени. По-видимому, в наиболее общем виде задача нахождения достаточных условий сходимости распределений суперпозиций случайных процессов была решена Сильвестровым Д.С. В опубликованной им в 2006 году статье ([4]) приведены достаточные условия слабой сходимости распределений в топологии Скорохода сложных случайных функций, представляющих собой суперпозицию случайных процессов без разрывов второго рода.
Остановимся чуть более подробно на прикладных задачах теории случайных процессов, имеющих дело с случайными процессами со случай-

sup |Л(i) - t < ß sup Ign{t) - g{ßn (i))| +
+ inf 0 : ЗА € A[a,b], sup д(ц%Ы))) - < ß

sup |Л(t) — t < ß atb

Для того, чтобы доказать сходимость

inf < ß > О : ЗА е A[a,b], sup д(рп (7n(t))) - < ß >
I atb
эир | Л() — £| < Р > —> 0 при п —V оо
аЬЬ )
достаточно показать (см. лемму 2.2.1. в [3]), что выполняются условия:
1) я(Рп (7п(*))) -* яЫ*)) при п

на некотором счетном всюду плотном множестве в [а, &];
2) lim lim sup д{ц*(7„(t;))) - я(Рп (7п(*")))1 = °-
сО n-oo a Заметим, что в силу сходимости ра,ь('Уп,'У) 0 при п —» оо, верна сходимость Ра,ь(/Г(7п(£)))7№) -* 0 при п —> оо. Следовательно, по лемме
2.2.1. в [3], существует счетное всюду плотное в [о, Ь] множество, для всех точек к G JN которого {"fn(tk)) —у lit к)- В силу непрерывности функции д в точках 7(5) для всех s € [a, 6], условие 1) выполенено. Сходимость pa,b(pn 1 l(t)) 0 ПрИ П —> ОО ВЛвЧвТ, ЧТО
inf [ß > 0 : ЗА е A[a,b), sup |ц(т„(i)) - 7(М<))| < ß >
L atb
sup |А(£) — fI < ß > —► 0 при n оо.
atb J
Кроме того, в силу неравенства
д(н%Ыт-д№ЫП)) < ЬОЫО)) -*(7(а(0))1+ +я{Рп ЬпЮ)) - яЫЧ*"))) + k(7(A(i/))) - яЫЧ*"Ш