Предельные теоремы для ветвящихся процессов в случайной среде

• Автор: Дьяконова, Елена Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 227 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Многотипные ветвящиеся процессы в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин
1.1 Описание модели, основные условия
1.2 Вероятность невырождения критического процесса
1.2.1 Вероятность невырождения как случайная величина
1.2.2 Свойства класса мер, сосредоточенных на положительной по-
луоси
1.2.3 Асимптотика вероятности невырождения при наличии общего
левого собственного вектора у матриц средних
1.3 Вероятность невырождения при наличии общего правого собственного вектора у матриц средних
1.3.1 Сходимость некоторых функционалов от ветвящихся процессов
1.3.2 Асимптотика вероятности невырождения при наличии общего
правого собственного вектора у матриц средних
1.4 Функциональная предельная теорема
1.5 Вероятность вырождения критического процесса в фиксированный момент
1.6 Вероятность невырождения докритических процессов
1.7 Асимптотика вероятности невырождения докритических процессов .
Глава 2. Многотипные ветвящиеся процессы в марковской случайной среде
2.1 Описание модели
2.2 Вероятность невырождения процесса
2.2.1 О произведениях матриц специального вида
2.2.2 Доказательства теорем об асимптотике вероятности невырож-
дения
2.3 Предельные теоремы о числе частиц в процессе
2.3.1 Условные предельные теоремы о распределении числа частиц
2.3.2 Свойства вложенного ветвящегося процесса
2.3.3 Доказательство теоремы о распределении числа частиц в про-
цессе
Глава 3. Ветвящиеся процессы с одним типом частиц в замороженной среде
3.1 Описание модели, основные условия
3.2 Свойства случайных блужданий и замены мер
3.3 Асимптотика вероятности невырождения процесса

3.4 Условное распределение числа частиц в процессе
3.5. Конечномерные распределения
3.5.1 Свойства случайных блужданий и процессов Леви
3.5.2 Глобальные и локальные свойства итераций производящих функций
3.5.3 Доказательство теоремы о конечномерных распределениях
3.6 Условное распределение числа частиц в процессе вблизи точки гло-
бального минимума сопровождающего блуждания
3.7 Предельная теорема о распределении числа частиц в моменты локальных (но не глобальных) минимумов сопровождающего блуждания
3.8 Поведение редуцированного процесса вблизи точки глобального ми-
нимума сопровождающего случайного блуждания
3.9 Расстояние до ближайшего общего предка
3.10 Свойства редуцированных процессов в моменты времени, расположенные существенно правее т(п)
3.11 Редуцированные процессы в моменты времени п1,0 <
3.12 Процессы с устойчивыми сопровождающими случайными блужданиями
Глава 4. Процессы с миграцией
4.1 Переходные явления для процессов с однородной миграцией
4.2 Переходные явления для процессов с зависящей от состояния имми-
грацией
4.3 Переходные явления для процессов с миграцией, эволюционирующих
в марковской случайной среде
4.4 Переходные явления для процессов с зависящей от состояния имми-
грацией, функционирующих в марковской случайной среде

Введение
Теория ветвящихся процессов изучает вероятностные модели, отражающие поведение различных совокупностей размножающихся и погибающих частиц. Основы этой теории были заложены в середине двадцатого столетия работами Колмогорова A.H., Дмитриева H.A. [16], Севастьянова Б.А. [23], [24], Яглома А.М. [30], Веллмана Р. и Харриса Т. [41]. С тех пор теория ветвящихся процессов постоянно и интенсивно развивается.
Изложению теории ветвящихся процессов посвящены широко известные монографии Севастьянова Б.А. [22], Харриса Т. [28], Атрейя К. и Нея П. [38], Мода К. [68], Ягерса П. [81]. Классической моделью ветвящегося процесса является процесс Гатьтона-Ватсона, описывающий число частиц в популяции, в которой законы размножения частиц не меняются от поколения к поколению. Стремление исследовать более сложные ситуации, когда эти законы меняются с течением времени, привело к формированию в семидесятых годах двадцатого столетия двух новых направлений в теории ветвящихся процессов.
Первое направление рассматривает ветвящиеся процессы в изменяющейся среде (так называемые, неоднородные процессы). Под средой при этом подходе понимается совокупность заданных для каждого поколения законов размножения частиц. В посвященных этому направлению работах таких авторов, как Линдвалл Т., Ягере П., Д’Суза Ж., Иржина М., Агрести А., Виггинс Дж., описываются условия, налагаемые на среду, при выполнении которых ветвящийся процесс в изменяющейся среде обладает тем или иным важным свойством. Например, вырождается с вероятностью единица, или является надкритическим, или имеет определенную скорость роста и т.д.
Вторым направлением является теория ветвящихся процессов в случайной среде. Изучение этих процессов было вызвано стремлением выявить наиболее характерные свойства различных ветвящихся процессов в изменяющихся средах. Поэтому в рамках этого направления предполагается, что сами эти среды являются реализациями некоторого случайного механизма. Для исследования ветвящегося процесса в случайной среде нужно знать вероятностную природу этого механизма.
Одним из интереснейших объектов исследования в этой области ветвящихся процессов являются процессы Гальтона-Ватсона в случайной среде, естественным образом обобщающие классические процессы Гальтона-Ватсона. Опишем модель ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона в случайной среде подробнее.
Пусть Jp := {s — (si,...,sp) : 0 < st < 1,г = l,...,p},p > 1, - р-мерный единичный куб с вершиной в начале координат, No := {0,1,2,...} - множество неотрицательных целых чисел и
No {fc = (П,-Л) '■ U е N0, г = 1,...,р}.

Для s = (si,...,sp) G Jp и t = <Е Nq положим sb ]ф sф

Очевидно, что
О < К(с,п < А^. (1-54)
Из (1.11) и (1-47) вытекает, что Р-п.н. ^«(О) —* 1 при п —» оо. Аналогично получаем, что при п —> оо для любого фиксированного к € N
4,п(0) ->• 1 Р-п.н.
Отсюда и из (1-49) следует, что для любого к £ N0 при га —> оо
—»О Р — п.н. (1.55)
Наряду с последовательностью {Ап,п £ N0} рассмотрим не зависящую от нее последовательность случайных матриц {А*, га £ N0}, которая является вероятностной копией {Ап,п £ N0}. Согласно следствию 1.1 имеет место равномерная сходимость при п —■> оо

А{ —» £> = и ® V, А* —> И* = и* <8> V, (1.56)
г=0 г=
где и* - аналог вектора и для последовательности {А*п, п £ N0}. Из (1.44) следует,
что найдется числовая последовательность 5п —■► 0, <5П > 0, такая, что

(1~6п)0<ЦА<(1 + 6п)0. (1.57)

Пусть К - матрица размера р х р, все элементы которой равняются где и»
определено в (1.27). Из (1.29) и (1.56) вытекает, что
И* > К. (1.58)
Зафиксируем теперь реализацию случайной среды / = (£о, П,...), £ £ вирр (л), г £ N0, которой соответствует реализация сопровождающего случайного блуждания Бп = (5„ | П = /),п £ N0, такая, что Итт^«, БгР = —оо. Будем, как и ранее, для случайной величины £ обозначать := (£ | П = /), например, А= (Ап | П = /),иН) = (и | П = /),к£ = (М*,„ | П = /),£>(/) = (И | П = /) и так далее. Ясно, что для любого к £ N0 при га —> оо —» 0. Следовательно, для
любого к £ N0 существует числовая последовательность 7^ —+ 0 при га —> оо, — 0, га > /с + 1, такая, что
о < Ш[кЛп < тйк, к > 0, п > к + 1. (1.59)
Объединяя (1.58) и (1.59), имеем
о < к > 0, п > к + 1. (1.60)