Дискретные аналоги некоторых свойств броуновского движения и других процессов

• Автор: Мищенко, Андрей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 69 с. : ил.

Глава 1. Основные обозначения, понятия и вспомогательные результаты

§ 1.1. Рассматриваемые случайные процессы

§ 1.2. Понятие разбиения траектории простейшего случайного

блуждания на экскурсии

§ 1.3. Известные свойства броуновского движения и других # процессов

§ 1.4. Дискретный вариант теоремы Леви

Глава 2. О распределении функционалов, связанных А с законами арксинуса

§ 2.1. Случай дискретного времени

§ 2.2. Предельный переход к непрерывному времени

§ 2.3. Обобщение на случай других процессов

Глава 3. Дискретный процесс Бесселя размерности три

§ 3.1. Определение дискретного процесса Бесселя
ф § 3.2. Свойства дискретного процесса Бесселя
Список литературы

В теории случайных процессов давно изучается вопрос об аппроксимации непрерывных процессов их дискретными аналогами. Цель настоящей работы состоит в том, чтобы построить дискретные аналоги различных функционалов от броуновского движения и изучить их.
В качестве дискретной аппроксимации броуновского движения мы рассматриваем простейшее симметричное случайное блуждание, то есть блуждание, шаг которого имеет распределение Бернулли. На его основе мы строим дискретные аналоги многих связанных с броуновским движением процессов, таких как локальное время, время пребывания выше заданного уровня, значение максимума и точка достижения этого максимума, броуновский мост и броуновский меандр. Особое внимание уделяется процессу Бесселя размерности три. Определения всех этих процессов можно найти в очень подробной монографии по теории броуновского движения [12].
Для построенных дискретных процессов мы доказываем дискретные варианты многих известных утверждений, имеющих место в непрерывном времени. Например, в теории броуновского движения хорошо известен следующий результат П. Леви (см., например, [12; IV (2.3)])
Предложение 1.6 (Теорема Леви). Для стандартного броуновского движения (Ц)г>о процесса его максимума (А1ф>о и локального времени в нуле (Т/4)г>о имеет место следующее равенство по распределению.
(М,-В„МЖ> 0 =Ю(|Нг|,Д)г>0.
Рассмотрим теперь простейшее симметричное случайное блуждание (Дг)п=о,1 обозначим процесс его максимума через Мп — вирк<пВк, и
построим дискретный аналог локального времени в нуле

- X) ^{(В„_1-1/2)-(В„-1/2)<0}>

другими словами величина Ьп равна количеству пересечений уровня 1/2 случайным блужданием до момента времени п. В этих обозначениях имеет место следующее соотношение
Теорема 1.11 (Дискретный вариант теоремы Леви). Пусть процессы (£?„)„=од (Мп)п=о,1,... и (Дг)п=од,... такие как определено выше. Тогда распределения следующих двумерных процессов совпадают
(Мп - Вп, Мп)п=од,... 1= (IВп - 1/2| - 1/2, ДОп-0,1,
В дальнейшем мы также будем обозначать дискретные процессы теми же буквами, что и их непрерывные прототипы, но над ними всегда будет ставиться волна, так же как в формулировке предыдущего утверждения. Это делается для избежания путаницы во время предельного перехода от дискретного времени к непрерывному.
Помимо классической теоремы Леви (предложение 1.6), известно ее обо-щение на случай броуновского движения со сносом (ЛА := В{ + А£)4>0.
Предложение 1.7. Пусть (ДА)(>0 — броуновское движение со сносом
А. Обозначим через МА := зир5<г ЯА процесс его максимума. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение
(IX1 = (1В1 — А sgn Хг ей, Хо
и обозначим через (Х/)<>о его решение. Тогда следующие пары процессов одинаково распределены
обозначать (Л()«>о- Этот процесс подробно изучается во многих работах, так в книге [12] ему посвящен параграф 3 главы VI.
В настоящей главе мы ставим себе целью построить такой дискретный процесс (Я„)„=од который имел бы столь же простую структуру траекторий как и случайное блуждание, и сходился бы к процессу (Д*)«>о в том же смысле, в котором случайное блуждание сходится к броуновскому движению в принципе инвариантности Донскера-Прохорова.
В действительности, теория случайных процессов рассматривает целое семейство процессов Бесселя различных размерностей, задаваемое некоторым стохастическим дифференциальным уравнением, в которое размерность входит в качестве параметра. Но мы будем работать лишь с процессом размерности три, поэтому указание на нее будет, как правило, опускаться, мы будем называть процесс просто процессом Бесселя, а
процесс (Д„)п=од,... дискретным процессом Бесселя.
Построению такого процесса посвящен полностью первый параграф. В знаменитой работе Питмана [10] рассматривался некоторый дискретный процесс, который вправе считаться дискретным аналогом процесса Бесселя размерности три. Он имеет столь же простую структуру траекторий как и простейшее случайное блуждание, и, согласно результатам этой работы, сходится к непрерывному процессу Бесселя (Я*)(>о в смысле принципа инвариантности. Помимо определения, используемого Питманом, мы приведем три других определения, которые освещают этот процесс с различных точек зрения, и докажем их эквивалентность.
Изучение этого процесса показывает, что взаимосвязи между ним и простейшим случайным блужданием полностью повторяют известные соотношения, связывающие броуновское движение и процесс Бесселя в непрерывном времени.
Второй параграф демонстрирует глубину аналогии между непрерывным и дискретным процессами Бесселя на примере дискретного варианта раз-