Принцип Ванга в математической теории страхования

• Автор: Ирхина, Наталья Александровна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 137 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Достаточные условия сводимости
1.1 Основные определения и предшествующие
результаты
1.2 Первое достаточное условие
1.2.1 Теорема о приближении ’’ступеньки”
1.2.2 Примеры
1.2.3 Контрпримеры
1.3 Второе достаточное условие
1.3.1 Теорема о линейных комбинациях
1.3.2 Примеры
1.3.3 Обобщение па случай бесконечной дисперсии
1.4 Третье достаточное условие
1.4.1 Теорема о нелинейном приближении
1.4.2 Примеры
2 Границы и чувствительность премии
2.1 Определения и мотивация исследований
2.2 Чувствительность для распределений Парето
2.2.1 Абсолютная чувствительность
2.2.2 Относительная чувствительность
2.2.3 Чувствительность в случае бесконечной дисперсии
2.3 Пример Янг и его обобщения
2.3.1 История вопроса
2.3.2 Поведение премии и асимметрии в предельных случаях .

2.3.3 Структура линий уровня асимметрии
2.3.4 Выводы
2.4 Границы премии при моментных условиях
3 Предельные теоремы и оценки
3.1 Теоремы о непрерывности и оценки разности
3.2 Предельные теоремы для сумм
3.3 Статистические оценки
4 Экономия от совместного страхования
4.1 Определения и постановка задачи
4.2 Основные свойства экономии
4.3 Случай независимых рисков
4.4 Случай зависимых рисков
Список литературы

Введение
В современном обществе страхование является универсальным средством защиты всех форм собственности, доходов и других интересов предприятий и организаций, арендаторов, фермеров, отдельных граждан, т.е. юридических п физических лиц.
Страхование — это операция, посредством которой одна из сторон (страхователь), внося определенную сумму денег (премию или страховой взнос), обеспечивает себе или третьему лицу (выгодоприобретателю) при осуществлении риска (т.е. наступлении страхового случая) выплату возмещения другой стороной (страховщиком), принимающем на себя целый ансамбль рисков, которые он компенсирует в соответствии с законами теории вероятностей [1, с. 8].
В диссертации рассматривается модель, в которой страхователь страхует свои будущие случайные убытки, описываемые случайной величиной X (называемой риском), за что страховщик берет с него некоторую неслучайную сумму денег Н(Х) (называемую премией). Различные методы (формулы, алгоритмы) подсчета премии называются принципами.
Одним из ключевых вопросов математической теории страхования является научно обоснованное построение принципов назначения страховых премий н изучение их свойств. С точки зрения теории вероятностей, страховые премии можно рассматривать как числовые характеристики случайных величин (рисков) и их распределений. Некоторые виды премий выражаются через более традиционные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.), а некоторые имеют иную структуру. Но все их можно рассматривать как функционалы Н на неотрицательных случайных величинах, отображающие X •—» [0, оо). Поиск надежного принципа подсчета премии является предметом многочисленных актуарных исследований, однако вопрос

^ 1 ia' lJ'x(d + E)dy 1 d + £t, ^
>1---------~r-~ = 1-ТТТН ~ X) ПРИ 0 < X <1.
Z{1) 2(1)
Таким образом, для выполнения условий (1.5) достаточно выбрать такие же
d и е, что и в случае aj = 1. □
Предложение 1.3.5 Рассмотрим класс функций {1 — (1 — а;)ап}, где 1 <
0.1 < о,2 < ... и ЕЛ 1 /ап — +оо. Тогда натуральное множество по данному классу функций является сдвигово-масштабным семейством.
Доказательство. Положим а1 = 1 — b, b' — 1 — а. В предложении
1.3.4 было доказано, что Vа',Ь',с: 0 < а' < b' < 1, с > 0 3d, е: для функции
д(х) = 7!Жа’Т + ... + ^тХапт
(построенной в предложении 1.3.4) выполнено:
ф(х) < сх, 0 < х < а',
д(х) > 1 — с(1 — х), Ь’ < х < 1.
Введем функцию д*(х) = 1—5(1—х) = 7i(l — (1—a;)“’‘i)+...+7m(l—(1—:ж)“"'), тогда:
д*{х) < сх, 0 < х < а,
д*(х) > 1 — с(1 — х), b < х < 1. □
Предложение 1.3.6 Рассмотрим класс функций gr(x) = f(rx)/f(r), г G
1, где f(x) - аналитическая функция с /(0) == 0, ее разложение в степенной ряд f(x.) — ЕЕо fnxn с радиусом сходимости II > 0 и промежуток I С (О, R) такой, что / не убывает на I и для последоват,елъпости номеров fn, отличных от 0, выполнено условие Мюнца: ЕЛ = +°°- Тогда пересечение натуральных множеств по данному к.шссу функций является сдвигово-масштабным семейством.
Доказательство. Как было отмечено в теореме 1.2.1, для доказательства предложения достаточно показать, что если случайные величины U и V такие, что ЕU — ЕЕ = О, DU = DV = 1 и HlJr{U) = Hg,.(V) для любой gr из класса, то Su = Sy. Равенство премий Ванга означает:
(К8т_1л+г&в?шл_
i-Л Н:п )