Построение кратных стохастических интегралов с помощью рядов ортогональных случайных величин

• Автор: Хрущев, Сергей Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 111 с.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Достаточные условия существования кратного стохастического интеграла

§ 1. Достаточные условия существования

§ 2. Представление кратного стохастического интеграла в виде

кратного ряда со случайными коэффициентами

§ 3. Доказательство основных результатов

3.1. Доказательство теоремы 1

3.2. Доказательство теоремы 2

3.3. Доказательство теоремы 3

3.4. Доказательство теоремы 4

3.5. Доказательство теоремы 5
ГЛАВА 2. Задание кратного стохастического интеграла в виде
кратного ряда со случайными коэффициентами
§ 1. Определение кратного стохастического интеграла
§ 2. Экспоненциальное неравенство
§ 3. Доказательство теоремы
ГЛАВА 3. Задание кратного стохастического интеграла в виде
одномерного ряда со случайными коэффициентами

§ 1 Определение кратного стохастического интегра на
§ 2 Сравнение различных конструкции кратных с 1 охастических
пнюгралов
§ 3 Обобщенная конструкция стохастического интсм рала
§ 4 Разложение многопараметрического процесса с ковариационной функцией специального вида
§ 5 Условия существования кратного винеровско] о стохастического интеграла
§ 6 Сравнение кратных стохастических интегралов, построенных относительно различных разложений одного и того /ко процесса
§ 7 Экспоненциальное неравенство
§ 8 Доказательство основных результатов
8 1 Доказательство теоремы 7
8 2 Доказательство теоремы 8
8 3 Доказательство теоремы 9
8 4 Доказательство теоремы 10
8 5 Доказательство теоремы 11
8 6 Доказательство теоремы 12
8 7 Доказательство теоремы 13
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В математической статистике и некоторых других приложениях стохастического анализа важную роль играют кратные интегралы вида
J /(а>1,. ..,ха)<1£{х1).. ,(%(ха)
{а,6]а
от неслучайной измеримой функции /(ад,..., хф), заданной на [а, б]*4, где а < Ь конечны, й — фиксированное натуральное число, а £(х) — случайный процесс, заданный на [а,Ь]. Реализации процесса £(л), вообще говоря, являются функциями неограниченной вариации, и интегралы указанного вида без каких-либо условий регулярности на ядра (скажем, лишь при условии их интегрируемости в смысле Лебега) нельзя понимать как интегралы Римана-Стилтьеса или Лебега-Стилтьеса, существующие для почти всех реализаций £(х).
Впервые стохастический интеграл от неслучайной функции по независимым приращениям винеровского процесса рассмотрел в 1923 году Н. Винер [37]. Кратные стохастические интегралы по приращениям винеровского процесса рассматривали Н. Винер [38] и К. Ито [26], [27] (классический кратный интеграл Винера-Ито).
Классические кратные стохастические интегралы Винера - Ито кратности с1 (далее их будем обозначать символом 7^(/)) (см. [38], [26], [27], [30]) определены для функций / € на множестве интегрирования [а, 6[й, при этом на конструкцию не влияет поведение функции / на так называемых диагональных подмножествах вида {(ад,.. ■, .тд) 6 [а. й] = х3} для некоторых г ф j. По этой причине работать с таким интегралом достаточно удобно. Однако для такой конструкции, вообще говоря,
ММХ1) ■ ■ ■ 1лЫ)) ф ММхг))... JUd{xd))■

Здесь последнее неравенство имеет место в силу полуаддмтивности вогнутой функции /(х) = х2/-7 при j > 2. Отсюда сразу же вытекает справедливость следующего неравенства:
/ м Чп[к] ( м . '
Е Е к,и)1ь ••• Е “
й к<1 ii4-А' / VНги—М
м / м
^ Е |с-Е<<-'1) - СЕ<„И) ■ (10>
Й.--1 *!!=А^
В силу сходимости ряда )Г) ^Рк{х) мы имеем

при N. М —> оо, и в силу (10) будет верно соотношение

У £,№к(Л)\ь.и -> о

при N. М —> оо. Тем самым, мы доказали, что ряд (Г) £&
пространства £га для любого Л £ 9Л.

Так как )Г) ■ДсдДА) = /ДА) и, кроме того, этот ряд сходится в норме про-к=
странства Сци то /ДА) £ £-2(1, а значит
Е (д(А))м < оо
для всякого А £ ШТ. Это условие позволяет нам доказать, что т(-) конечна. Действительно, при помощи неравенства Гельдера получаем
т(Ах х • • ■ х А2Д| = 1Е/ДАД ■ ■ ■ /ДА2Д|