Асимптотические разложения в центральной предельной теореме для квадратичных форм : Предельные теоремы для вейвлет-статистик

• Автор: Юрченко, Владислав Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Сыктывкар
• Количество страниц: 120 с. : ил

Оглавление
Введение
Обозначения
1 Асимптотические разложения для квадратичных форм
1.1 Формулировка результатов
1.2........................................Доказательство теоремы 1.
1.3........................................Доказательство теоремы 1.
2 Приложения
2.1 Тёплицевы матрицы
2.2 Процесс авторегрессии АЯ(1)
2.3 Линейно порожденные процессы
2.4 Спейсинг-статистики
2.5 Вейвлет-оценки спектральной плотности
3 Асимптотические свойства вейвлет-оценок
3.1 Формулировка результатов
3.2 Доказательство теоремы 3.
3.3 Доказательство теоремы 3.
3.4........................................Доказательство теоремы 3.
3.5 Оценка дисперсии линейной вейвлет-оценки
3.6........................................Доказательство теоремы 3.
3.7........................................Доказательство теоремы 3.
3.8........................................Доказательство теоремы 3.
3.9........................................Доказательство теоремы 3.

А Дополнение
А.1 Вспомогательные результаты
А.2 Кратномасштабный анализ
А.З Пространство Соболева
А.4 Пространство Бесова
В Численный эксперимент

Введение
Рассмотрим X, Х, Х2,... - последовательность независимых случайных величин с конечной дисперсией. Пусть {Аг} - последовательность симметричных матриц размерности N х X, с элементами а^, причем N. возможно зависит от п или равно со. Рассмотрим последовательность квадратичных форм

Интерес к задаче изучения асимптотического распределения квадратичных форм обусловлен тем, что квадратичные формы находят непосредственное применение в задачах теории вероятностей и математической статистики: при построении критериев согласия [43], при оценивании спектральной плотности [2], [6], при оценивании параметров стационарных процессов [21], [56]. Отметим, что квадратичные формы образуют важный подкласс обобщенных II-статистик. Многие результаты, связанные с изучением асимптотики и~статистик, получены сведением ^/-статистики к квадратичной форме [8, (1989)]. Задача исследования предельного поведения вейвлет-оценки спектральной плотности также сводится к изучению асимптотики квадратичной формы.
Вейвлет-оценки получили широкое распространение в задаче непараметрического оценивания плотности распределения [48, (1992)], [62, (1994)] [62, (1994)], [44, (1996)], спектральной плотности стационарных процессов [53, (1996)], при исследовании поведения нестационарных процессов [26, (1999)]. Вместе с тем, представляется интересным исследование асимптотического поведения вейвлет-оценок плотности случайной величины.
Интерес к исследованию асимптотического поведения квадратичных форм, возникший в 50-е годы (см. [57, (1948)], [37, (1955)], [42, (1955)], [39, (1958)]), был обусловлен появлением приложений и носил частный характер. Как 6о-

Из леммы А.З (см. стр. 105) легко получить следующее неравенство

* / С зя
£ V{Si{e)><'.rfKMh?M} < (-) . (1.18)

Пусть Го = 24|^j и |t| < Го. Рассмотрим величину
V2 := Е ехр | ~£р- J2* 5Г Afc(L - Cj)ekYjYk | •
Пусть Л*(є) - последовательность собственных чисел матрицы А*(є) и А, А, ••• - последовательность независимых стандартных нормальных величин. Тогда V2 можно переписать в виде
V2 = Е ехр
f Й<Т2(Я) ул 4(7* ^
Аі(є)(3? - 1)
і=і ехр <

ґіа3ип N / Л*/ N
'Г gMlsfe -«)*
, (1.19)
Нетрудно видеть, что Тг А3(е) = 0. Используя равенство (1 — 2ш) 1 = 1 + 2ш — 4м2 — 8ш3(1 — 2ш)-1 в (1.19) получим, что
V2 < ехр
* і-1 * i=i J
-p{—!+Ar

HA(e)1l
}-(

Пусть p =- Нетрудно видеть, что выполняется цепочка равенств

2П2 ♦ II *
Е||Л,(£)2||2= V Ее, УЗ«;,(1 - е,)«и £*+
ък=1 г=1 /
23 Е(1 - Г21] ^1«») С1 - £к) = Р2Ч2 53 а122 = Р2(12\А
3,к=х г=1 / Э,к=
Из теоремы Шура (см. [49]) следует ^^(а^)2 = ||А2||2< ^=^р чт0 влечет оценку вероятности события {||А*(е)2||2> р|Л1]2||А||2}
ю2а2У' 4
р{||/1.(е)2||2>г)|А1|2||Л|Н < £ 4- (1'21)