Предельные теоремы для полумарковских случайных эволюций в схеме асимптотического фазового укрупнения

• Автор: Свищук, Анатолий Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 117 c. : ил

Глава I, Предельные теоремы для полумарковских случайных эволюций в схеме асимптотического фазового укрупнения,,«*

§ I, Фазовое укрупнение полумарковских случайных

эволюций:случай ограниченных операторов

§ 2. Фазовое укрупнение полумарковских случайных

эволюций: случай неограниченных операторов

§ 3. Фазовое укрупнение полумарковских случайных

эволюций со скачками*••«•»,*•••..»•

§ 4, Центральная предельная теорема для операторнозначных случайных величин.. ♦

Глава II, Асимптотическое фазовое укрупнение в теории

запасов и теории трафика «..,*.,,,

§ 5. Фазовое укрупнение в теории запасов: детерминированное поступление,...»..,

§ 6, Фазовое укрупнение в теории запасов:рандомизированное поступление.,,»,,
§ 7. Теория трафика и дифференциальные уравнения с полумарковскими переключениями
§ 8. Марковская случайная эволюция
§ 9. Примеры простейших случайных эволюций ЮО
Литература
Во многих областях науки возникает ситуация, когда развивающаяся система изменяет свой закон движения или способ эволюции под влиянием случайных воздействий окружающей среды.Например развитие популяций бактерий в некоторой среде,которая подвержена случайным колебаниям; распространение радиосигнала через турбулентную среду, в которой коэффициент отражения изменяется случайно; запасание вещества (энергии) со случайным его пополнением; движение частицы на прямой с постоянной скоростью до случайного столкновения, вследствие которого меняется скорость и частица движется дальше уже с новой постоянной скоростьюСтеория трафика) и т.д.
Математическая теория таких задач была названа теорией "случайных эволюций" С 66 ] .В работах Г63, 64] рассматривалось семейство произвольных замкнутых операторов { Рсг) ) <-'= I, п |, порождающих полугруппы сжатия {Г,Щ;г = £ , гг- ( ^ ^ о} . Случайная эволюция,построенная по семейству {Г1(£); с=*,п, I ?'0} и цепи Маркова к Щ , определялась следующим образом СбЗ] :
где с = 1,к, - время 6-го скачка хИ), - число скачков до момента ^ . Аналогичные объекты рассматривались в [66]
в предположении коммутируемости операторов {ГоУ;
это ограничение на семейство {ГоУ/ У,ь} было снято в
работе [67] ,
Распространение понятия случайной эволюции на случай однородного марковского процесса к(1) и произвольного семейства
Изучались также СЭ, построенные по процессу марковского восстановления (ПМВ) с временами восстановления и состояниями,представляющими собой независимые одинаково распределенные случайные величины [81] . В работе [91] были введены и исследовались случайные эволюции, которые конструировались по скачкообразным марковским процессам,которыми аппроксимировались диффузионные процессы^ по ним,в свою очередь,строились СЭ на диффузионных процессах. СЭ,построенные по марковскому процессу и семейству (Го); хе Х}г получили название марковских СЭ [63,64,66,75,76]. Понятие С5Э было обобщено на случай произвольного полумарковского процесса (ПМП) и СЭ,построенные по НМЛ и семейству (Гсх); хе X}, называются полумарковскими случайными эволюциями (ПМСЭ) [18,19,72]
Марковские и полумарковские СЭ являются операторнозначными аналогами переключаемых процессов [1,3, 40 - 43];представляющих собой процессы с дискретным вмешательством случая [10,11] .Наиболее общее определение переключаемых процессов рассматривалось в работах [1,2] , Процессы с полумарковскими переключениями изучались в [40 - 43]
Исследованию процессов с независимыми приращениями с полумарковскими переключениями посвящены работы [29-30]
Переключаемые процессы можно представлять себе и как схемы суммирования случайных величин,определенных на цепях Маркова и
замкнутых плотно определенных операторов
( X - фазовое пространство Х(Н ) на некотором банаховом пространстве УЗ было сделано в [67] .

причем операторы 0$ (Я) и такие же,как и в (15), § I. Учитывая условия Б) и В), § I,последнее уравнение в асимптотическом виде становится следующим:
[ I - Р+£(т - 8 - Г) * 2, X) =
(35)
= £-[тсх)1 + т^а)]и>Сг,к),
где операторы М, В, Г и пГ^л) определены в (!?),§ I;
€ О ) О(е) понимается в смысле операторной нориы в пространстве О 0 . Следствием применения метода асимптотического фазового укрупнения с помощью обращения операторов,возмущенных на спектре [26,с.149]; является следующая ЛЕММА 2.1.
Ц-Р + £(АМ-Е>-Г) + осе)] = //£ • Т-((л) + о(//£}'
где Т-/(Я] определяется из условий:
т.,Ш1-р) -а-рукм-о,
Т-,(л)=[ПМГ'[я- {1(Р-1)+г}У'п
и I - минимальное замкнутое расширение оператора Г(и// и Из (35) и Л.2,1 вытекает,что
Р ^^ ^ ~ 73Г(Я]/Г7(х)у?С2,Х), у?(2,Х/£ В
А в сужении на подпространство 0$ получаем :