Системы обслуживания с дважды стохастическими пуассоновскими потоками

• Автор: Баштова, Елена Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с.

Глава 1. О существовании предельных режимов для систем с входящим ДСПП

1.1. Определения и примеры дважды стохастического пуассоновского процесса

1.2. Описание основной модели

1.3. Теоремы о стохастической ограниченности

и предельном режиме

1.4. Явный вид предельной функции распределения

для некоторых систем

Глава 2. Предельные теоремы для ситуации высокой загрузки

2.1. Ситуация высокой нагрузки для предельного периодического режима

2.2. Диффузионная аппроксимация

2.3. Методы вычисления коэффициента <т2

Глава 3. Асимптотическое разложение для периодического распределения в системе М11(1)|С1|1|оо в условиях малой загрузки
3.1. Постановка задачи и формулировка основного результата
3.2. Оценки малых вероятностей
3.3. Доказательство теоремы
3.4. Явная формула для первых коэффициентов
Заключение
Список литературы

Предметом настоящей диссертации является изучение систем массового обслуживания с дважды стохастическим, вообще говоря нестационарным пуассоновским входящим потоком. Дважды стохастический нуассо-новский процесс (ДСПП) является обобщением иуасеоновского процесса в том смысле, что интенсивность скачков является не детерминированной, а случайной функцией.
Во многих системах обслуживания (таких как большие транспортные сети, информационные системы, диспетчерские службы в аэропортах и т.д.) возникают потоки, интенсивность которых не только неоднородна по времени, но и зависит от случайных обстоятельств. Поэтому введение пуассоновского потока со случайной интенсивностью позволяет строить модели, которые более точно описывают поведение реальных систем.
С другой стороны, дополнительная случайность обобщает математическую постановку задачи, так как при различных видах интенсивности ДСПП может оказаться и процессом с независимыми приращениями, и процессом с ограниченным последействием, и полумарковским процессом.
Системы обслуживания с зависящими от времени и случайными параметрами уже более полувека привлекают внимание исследователей. Причиной популярности таких систем является как их прикладное значение, так и петривиалыгость математических задач, возникающих при их иссле-

довании.
Главная трудность в изучении систем с нестационарным или дважды стохастическим входящим потоком состоит в том, что в общем случае не удается написать явные формулы для основных характеристик системы. Поэтому изучаются крайние случаи: ситуации большой и малой загрузки, быстро или медленно меняющейся интенсивности входного потока и т.п.
Одна из первых работ, посвященных системам с входящим потоком непостоянной интенсивности, принадлежит А.Кларку [20-21) и написана в 1953 году. Затем Л.Такач в 1955 году получил интегро-дифференциалыюс уравнение для времени ожидания ([49]). Это уравнение и метод его получения до сих пор остаются одними из главных инструментов для изучения свойств виртуального времени ожидания в различных системах. Исследованию свойств решения уравнения Такача посвящены статьи Е.Рейча [36], [37] и А.Хасофера [29].
Из результатов 70-х годов наибольший интерес представляют работы Б.В.Гнеденко и И.П.Макарова [11], где для анализа систем с отказами используются методы теории дифференциальных уравнений, Д.Харрисона и А.Лемуана [28], где представлены предельные теоремы для периодических систем, и А.Лемуана [35], который установил связь между предельным распределением времени ожидания в периодической системе и вероятностью выхода некоторого сложного пуассоновского процесса за криволинейную границу. При помощи этого представления Л.Г.Афанасьевой и А.А.Лунгиной [4], [5] доказаны теоремы устойчивости по отношению к входящему потоку для распределения времени ожидания. Результаты, касаю-

Тогда, если (т(0) имеет собственное предельное распределение р0, то последовательность процессов (x{t) С-сходится на [0, и] к диффузионному процессу w(t) с отражением от пулевой границы и с начальным распределением pq.
Для того, чтобы применить теорему Воронкова к приведенной ранее постановке задачи о ситуации высокой загрузки, положим Т = 1/е2. Изучаем процесс
Z.(t) = eWs(t/e2).
Процесс W(t) имеет довольно сложную структуру, поэтому воспользуемся сначала методом мажорирования.
Рассмотрим систему S~, в которой в моменты tn поступают партии требований объемом г]п. Времена обслуживания требований - независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения В(х). Обозначим W~(t) - виртуальное время ожидания в системе S~. Процессы W(t) и W~(t) связаны следующими неравенствами:
W~{t) - 7лг(«) < W(t) < W~(t) + 7лr(t) + г*«) и, следовательно,
П.Н П.II
Ze(t) ~ £TN(t/£2) Д Ze(t) < Ze (t) + £JlV(t/e2) +STN(t/e2)
To есть
П.П
|Zs - Z~(t) I < e(7N(t/£2) + TN(t/e2)) = £rN(t/s2)
Лемма 3. Процесс на каждом конечном отрезке [0, и] С-сходится
к 0 при £ —» 0.