Вероятностные неравенства и предельные теоремы для критических ветвящихся процессов

• Автор: Вахтель, Виталий Иванович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 72 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Вероятностные и моментные неравенства

§1. Экспоненциальное неравенство

§2. Неравенства в терминах срезок

§3. Некоторые следствия

§4. Моментные неравенства

Глава 2. Большие уклонения в крамеровском случае

§1. Формулировка основных результатов

§2. Вспомогательные результаты

§3. Доказательство теоремы 2.

§4. Доказательство теоремы 2.

Глава 3. О локальной предельной теореме
§1. Формулировка результатов
§2. Вспомогательные результаты
§3. Доказательство предложения
§4. Доказательство теоремы 3.
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Пусть £ — случайная величина, принимающая только целые неотрицательные значения. Через {р*}£о обозначим распределение £, т.е. р* = Р(£ = к) для всякого к. Процессом Гальтона—Ватсона называется однородная во времени цепь Маркова Я„, переходные вероятности которой задаются равенствами
Процесс Гальтона—Ватсона можно рассматривать как стохастическую модель динамики популяции однотипных частиц, которые не взаимодействуют друг с другом. В этом случае величина интерпретируется как число частиц в п-м поколении.
Процесс Гальтона—Ватсона является простейшим из всех ветвящихся процессов, и, как следствие, достаточно хорошо изученным. Однако несмотря на это, теорию этих процессов нельзя считать завершенной. Это в частности относится к такому важному разделу, как большие уклонения. Важность исследования этой проблемы обуславливается, в частности, тем, что вероятности ошибок многих статистических критериев оказываются тесно связанными с большими уклонениями соответствующих случайных процессов. Кроме того, к большим уклонениям ветвящихся процессов сводится исследование условий стабильности стохастических моделей.
Большая часть настоящей диссертации посвящена восполнению этого пробела: изучению вероятностей больших уклонений для критических (Е£ = 1) процессов Гальтона—Ватсона. Кроме того, в последней главе при минимальных моментных ограничениях доказывается локальная предельная теорема для критических процессов Гальтона—Ватсона.
Мы начнем с краткого обзора результатов, имеющих отношение к прилагаемой диссертации.
Введем сначала необходимые обозначения. Положим /(в) = Е^, В = /"(1), С = /"'(1). Во избежание детерминированного случая /(э) = я всюду в дальнейшем будем предполагать, что ро > 0. Через <2„ обозначим вероятность продолжения процесса Zn, т.е. С)п = Р(Я„ > 0). Положим для краткости
Известно, что критический процесс Гальтона—Ватсона вырождается с вероятностью один, т. е. С}п 0 при п -+ оо. А.Н. Колмогоров [1] показал, что при выполнении условия С < оо имеет место соотношение
При том же самом условии А.М.Яглом [2] доказал интегральную предельную теорему, которая в терминах Рп(и) выглядит следующим образом

(0.1)
Ит Рп(и) = е~“
(0.2)

для любого фиксированного и. Кестен, Ней и Спитцер [3] показали, что соотношения (0.1) и (0.2) остаются верными и при менее ограничительном условии В < оо.
* В работе С.В. Нагаева и Р. Мухамедхановой [4] при соответствующих моментных
ограничениях получены несколько следующих членов в разложении величины Qn, а в работе Р. Мухамедхановой и А. Ганиева [5] выводятся полные асимптотические разложения для величины Qn. В случае В = оо асимптотика вероятности продолжения и интегральная предельная теорема для критического процесса Гальтона—Ватсона получены Слэком [6]. Для неоднородных во времени ветвящихся процессов соотношения, аналогичные (0.1) и (0.2), получены в работе К.А. Боровкова [7].
Впервые оценка скорости сходимости в (0.1) была получена в работе [4], а именно
A„:=sup|pn(u)-e-“| = 0(^) (0.3)
при выполнения условия С < оо. К.А. Боровков [7] распространил данный результат
на неоднородные ветвящиеся процессы.
y Первая работа, в которой доказывается локальная предельная теорема для вет-
вящихся процессов, принадлежит, по-видимому, В.М. Золотареву [8]. В этой работе исследуется асимптотическое поведение величины Р (Zt = к) при фиксированном к для марковского ветвящегося процесса с непрерывным временем. Для процесса Гальтона—Ватсона этот вопрос изучался в работе [3], а именно

lim -n?B{Zn = j) - fi(j) < оо,
n—»oo Z
при выполнении условия В < оо.
В предположении о существовании четвертого момента числа прямых потомков В.П. Чистяков [9] вывел асимптотику Р(Zt = к) при t,k —> оо для марковского ветвящегося процесса с непрерывным временем. В [9] также упоминается, что для дискретного времени аналогичный результат получен Н.В. Смирновым. Однако с момента появления работы В.П. Чистякова ни формулировка, ни доказательство не были опубликованы.
г В работе [3] при условии В < оо формулируется следующий результат: если к и
п стремятся к бесконечности так, что их отношение остается ограниченным, то
JlIS,n2exp(Sr)p(z"= ы) = %' (0-4)
где d = н.о.д.(А: : р* > 0}. Но доказательство этого соотношения авторы работы [3] провели при условии
Ef2ln(l + £) < оо. (0.5)
Они отмечают также, что условие (0.5) накладывается ими ради простоты изложе-
ния. Однако доказательство (0.4) без условия (0.5) до настоящего времени не было опубликовано.
Одновременно с [3] появилась статья [4], в которой при условии существования четвертого момента случайной величины £ доказывается равенство
if’
—j—P(Zn = к) = ехр(-^) + акп + 0{к~11п п), (0.6)

Поэтому
Еи+в(„ - ,№)->=а(1+Ввд/Ж1+'Д(„.0ц/2)а+оы). (2.20)
Из (2.19) и (2.20), следует требуемое соотношение. □
Пусть р(л) = положим Цр||1 = ]£“ |Р*|- Очевидно, что || ■ Ц1 обладает
всеми свойствами нормы.
Лемма 2.3. Пусть р(э) — вероятностная производящая функция. Положим а = //(1), Ь = р"(1). Тогда
1 1 Ь (1 — в!
—- - + ^2 + (*(*) ~ чМ)г—Йт, (2-21)
1 — p(s) а(1 — s) 2а2 1 — p(s) ’

_ b{p{s) - 1 - a(s - 1)) ^ _ p(s) - 1 - а(в - 1) - b(s - 1)2/
,Vo - О
2o2(s - l)2 ’ ,,v“' “ a(s — l)
Если дополнительно потребовать с = р'"( 1) < оо, то
pw->wn.<è+é-
Доказательство. Из равенства
1____ /p(g)-l-a(3-l) (1-я) f2 „„л
1 — р(я) а(1 — я) ' Ф — I)2 / 1 — p(s)
вытекает
1 1 6(1 - s) , . (1 - s)2 ,n
1 - p{s) a(l - a) ~ 2a(l - p(s)) ^ 1 - p(a)' ^ ^
Кроме того из (2.22) следует, что
1-я 1 /р(в)-1-ф-1)(1-в)
l-p(s) a V a(s-l)2 h-p{s)' K ’
Подставляя в (2.23), приходим, в итоге, к соотношению (2.21). Нетрудно заметить, что
p(s) - 1 - a(s - 1) _ v2' у' V1 ч
(s-1)2 •
V ' k=2 i-1 j=
Поэтому
'«V'ÿ't-i (“5)
Аналогично выводится
11 P(S) — 1 — Ф — 1) — HS I)2 11 _C
II (TTïjî IL - 6- (2-26)