Некоторые задачи теории вероятностей и математической статистики, связанные с распределением Лапласа

• Автор: Лямин, Олег Олегович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с.

Содержание
Введение
Глава 1. О скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Лапласа
1.1. Распределение Лапласа
1.2. Распределение Лапласа как асимптотическая аппроксимация
1.3. Оценки скорости сходимости распределений асимптотически нормальных
статистик, построенных по выборкам случайного объема вида (1.9), к распределению Лапласа
1.4. Применение к (7-статистикам и линейным комбинациям порядковых статистик
1.5. Оценка константы
Глава 2. О мощности асимптотически оптимального критерия в случае обобщенного распределения Лапласа
2.1. Задача проверки гипотез: асимптотическая постановка
2.2. Обобщенное распределение Лапласа
2.3. Асимптотическое поведение логарифма отношения правдоподобия
2.4. Формула для предельного отклонения мощностей
2.5. Формальное доказательство формулы
Заключение
Литература

Введение
Классическое распределение Лапласа с нулевым средним и дисперсией а2 было введено П. С. Лапласом в 1774 году [54]. С тех пор, наряду с нормальным, оно стало одной из наиболее активно используемых симметричных вероятностных моделей. Это распределение задается характеристической функцией
^ = 2 + аЧ2’ 5 € Ш'’
ИЛИ плотностью
1(х) — —^ехр!—л/2|а;|/(т}, а > 0, ж £ И. (1)

Хорошо известно, что распределение Лапласа находит широкое применение при математическом моделировании многих процессов в телекоммуникационных системах, в экономике, финансовом деле, технике и других областях, например, в задачах выделения полезного сигнала на фоне помех. Популярность распределения Лапласа как математической (вероятностной) модели обусловлена тем, что его хвосты тяжелее, чем у нормального распределения (см , например, книги [24, 44, 62], где описывается роль распределения Лапласа в методах робастного оценивания; работу [36], где обосновывается целесообразность использования распределения Лапласа как модели распределения погрешностей измерений в энергетике; стагыо [46], посвященную применению распределения Лапласа для моделирования ошибок в навигации; работу [56], в которой распределение Лапласа применяется в метеорологии; статьи [25, 34], посвященные применению распределения Лапласа в управлении запасами и радиоэлектронике). Во многих работах описано успешное применение распределения Лапласа для моделирования распределения приращений логарифмов финансовых индексов [35, 53, 55]. В работах [38, 39, 47, 57] распределение Лапласа используется как модель логарифма доходов фирм и индивидуумов. Многие работы посвящены применению распределения Лапласа для моделирования распределения логарифма размера частиц при дроблении [26, 27, 37]. Наконец, распределение Лапласа применяется при моделировании статистических закономерностей поведения некоторых характеристик атмосферной [28] и плазменной [12] турбулентности. В [48, 52] можно найти дальнейшие ссылки на работы, в которых описывается применение распределения Лапласа к решению прикладных задач в самых разнообразных областях.
Привлекательность распределения Лапласа в качестве вероятностной модели при решении конкретных прикладных задач во многом обусловливается его экстремальны-

ми энтропийными свойствами. Согласно энтропийному (информационному) подходу построения вероятностных математических моделей в условиях неопределенности следует выбирать то модельное распределение, которое обладает максимальной энтропией при заданном условиями задачи комплексе ограничений. Выбор максимально неопределенной модели в определенном смысле соответствует реализации минимаксного подхода. Так распределение Лапласа обладает максимальной энтропией (максимизирует дифференциальную энтропию) в классе всех абсолютно непрерывных распределений, носителем которых является вся вещественная прямая, с нулевым математическим ожиданием и абсолютным моментом первого порядка, равным 1//2, а также в классе таких распределений, для которых случайная величина У с распределением из этого класса может быть представлена в виде произведения
У = У'ч/У",
где случайная величина V имеет функцию распределения из класса всех абсолютно непрерывных распределений, носителем которых является вся вещественная прямая, с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, а случайная величина У" имеет функцию распределения из класса всех абсолютно непрерывных распределений, носителем которых является неотрицательная полуось, с единичным математическим ожиданием (см. [49]). Этим свойством часто мотивируется выбор распределения Лапласа в качестве распределения погрешностей измерений, в которых точность (параметр масштаба) изменяется от измерения к измерению случайным образом (см., в частности, [21, 62]). Это свойство,также позволяет построить методику определения характерных временных масштабов в экспериментах с плазменной турбулентностью (см. [12]).
Естественность возникновения распределения Лапласа в задачах теории вероятностей и математической статистики подробно обоснована в недавней работе В. Е. Бенинга и В.Ю. Королёва [1], где была выявлена тесная связь распределения Лапласа с другими вероятностными распределениями и фигурирование распределения Лапласа в качестве сверточной и рандомизационной симметризаций показательного (экспоненциального) распределения, масштабной смеси нормальных законов с нулевым средним при экспоненциальном смешивающем распределении и других смесей, предельного распределения для геометрических случайных сумм (которые играют важную роль в теории надежности; см., например, [40]) асимптотической аппроксимации для распределений регулярных статистик, построенных по выборкам случайного объема. Последний результат
Доказательство. Производная и(х) равна
/2ж-3 18 — 12а;2 N
■(') -“(44sT3)
Обозначим выражение в скобках через v(x). Производная функции v(x) равна
и ч _
ж2(9 — 4ж2)2 ’
Если х > 3/2, то г/(ж) < 0, поэтому v(x) строго убывает на х > 3/2. Так как lim v(x) = О,
X —* оо
то v(x) > 0 для всех х > 3/2. Тогда и'(х) = u(x)v(x) > 0. Следовательно, всюду на х > 3/2 функция и(х) строго возрастает. Лемма доказана. □
Лемма 1.10. Функция
и(х) ехР|2х + 1| ^ + 2^ y2x + Aj ■ строго убывает на х > 1.
Доказательство. Производная и(х) равна
«'(*) = U(X) fin (+ TXtT:+7,l) ■
V х + 2/ (ж + 2)(2х + !) )
Обозначим выражение в скобках через v{x). Производная функции v(x) равна
0чх) = 2П4Ж + 5)
К> {х- 1)(ж + 2)2(2ж + 1)3'
Если х > 1, то и’(х) > 0, поэтому v(x) строго возрастает на х > 1. Так как lim v(x) = О,
х —>■ ОО
то v(x) < 0 для всех х > 1. Тогда и'(х) = u(x)v(x) < 0. Следовательно, всюду на х > 1 функция и(х) строго убывает. Лемма доказана. □
Лемма 1.11. Дм функции
(дтт)‘. *>»
и для любых натуральных к, п справедливы ааедующис утверждения:
1) Dkn (£) < 0,
2) (д-^) > 0, если т = 1,2; (~~) < 0, если т > 3.
Доказательство.