Асимптотический анализ осциллирующих случайных блужданий

• Автор: Ким, Дмитрий Константинович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 87 с.

^ Введение
Глава 1. Предварительные сведения и факторизационные представления для производящих функций

■ 1.1 Предварительные сведения о факторизации и вспомогательные леммы

1.2 Достационарный случай

1.3 Доказательства теорем 1.1-1

1.4 Формулировки результатов

в стационарном случае

А 1.5 Доказательства теорем 1.6-1

1.6 Пример

Глава 2. Асимптотика стационарного распределения

2.1 Основные результаты

2.2 Доказательства теорем 2.1, 2
Глава 3. Полные асимптотические разложения для распределения осциллирующего случайного блуждания
3.1 Асимптотический анализ производящих функций
3.2 Предварительные разложения
^ 3.3 Асимптотические разложения
в случае "нормальных" уклонений
Заключение
Литература

Построение и изучение марковских моделей управляемых случайных блужданий является весьма важным разделом современной теории вероятностей. Как правило, подобные исследования имеют многочисленные применения в изучении систем массового обслуживания, в задачах теории хранения запасов, в финансовой математике и других областях. По данной тематике имеется большое количество публикаций, поэтому ниже приводятся ссылки только на те работы, которые имеют лишь непосредственное отношение к предмету проводимых исследований.
Пусть * = 0,1, 2 - три независимые последовательности независимых случайных величин, одинаково распределенных внутри каждой последовательности; при этом предполагается, что Е£* ^ < 0, Щп* > 0. Пусть а и Ь — произвольные числа, а < 0 < Ь, и Х0 — случайная величина, независимая от i = 0,1,2. Определим
цепь Маркова следующим образом: для п > 1 положим
■Хп-1 + если Хп_! € [а, 6],
Хп_! + еСЛИ Х„_! > Ь,
Хп-1 + £п если Хп-1 < а.
Случайные блуждания такого типа обычно называют осциллирующими. Основной задачей этой работы является исследование поведения распределения цепи Хп с ростом п. В ряде работ ( [3], [30], [34], [35]) изучались осциллирующие блуждания, с переключением (или управлением) в нуле. В частности, с помощью факторизацион-ных методов для таких блужданий в статье А.А.Боровкова [3] найдено преобразование Лапласа-Стилтьеса стационарного распределения. В остальных трех работах в основном изучались вопросы возвратности и эргодичности. Проблемы эргодичности и вероятности больших уклонений цепей более общего вида изучались в публикациях А.А.Боровкова и Д.А.Коршунова [7] - [10].
Можно рассматривать более общую схему, когда переключения между двумя последовательностями скачков происходят поочередно после достижения полуосей (б, оо), (—оо,а). Простейшие случайные блуждания такого типа впервые рассматривались в статье Ю.В. Прохорова [26]. Некоторые модификации этой модели при различных предположениях на распределения скачков, а также подобные случайные процессы с независимыми приращениями изучались Д.В.Гусаком, Н.С.Братийчуком, О.И. Елейко (см. [12], [13], [15]- [18]). Позже В.И.Лотовым [24] дая этой же схемы блуждания в весьма широких предположениях относительно исходных распределений были найдены преобразования Лапласа-Стилтьеса распределений цепи в стационарном и достационарном режимах. Аналогичные результаты для случайных процессов с независимыми приращениями были получены В.Р. Ходжибаевым (см. [33]).
В настоящей работе мы также имеем два уровня переключений (управлений), однако переключение здесь производится между тремя последовательностями скачков в зависимости от того, в какой из трех зон находится блуждающая частица. Отметим, что случайные блуждания с такой же схемой переключений рассматривались Е.В. Булинской в статье [14] для "трехточечных" случайных величин; при этом изучались вероятности, связанные с выходом рассматриваемого блуждания из полосы.
В диссертации проводятся исследования с помощью так называемого факториза-ционного метода, разработанного в статьях A.A. Боровкова [2], [4], [5], где им были найдены полные асимптотические разложения распределений граничных функционалов для случайных блужданий с одной прямолинейной границей, порожденных суммами независимых одинаково распределенных случайных величин. Как оказалось, этот метод применим для исследования граничных функционалов и в других ситуациях. На его основе впоследствии были найдены полные асимптотические разложения распределений в задаче с одной прямолинейной границей для однородных случайных процессов с независимыми приращениями (Б.А.Рогозин [28], [29]), для некоторых двумерных случайных блужданий (A.A.Боровков, Б.А.Рогозин [11]), а также для случайных блужданий, заданных на конечной цепи Маркова (Э.Л.Пресман [25]). В работах В.И. Лотова ([19] - [22]) использование факторизационного метода позволило найти полные асимптотические разложения распределений функционалов для случайных блужданий с дискретным временем в двуграничной задаче. Двуграничная задача для случайных процессов с непрерывным временем решалась В.Р.Ходжибаевым ([31], [32]) опять же при помощи факторизационной техники.
В своих общих чертах факторизационный метод состоит из нескольких этапов. На первом из них находятся факторизационные представления для двойных преобразований Лапласа - Стилтьеса над искомыми распределениями. Как правило, найденные представления являются слишком сложными для непосредственного обращения.
где символом I мы будем для краткости обозначать любую величину, имеющую порядок малости о ((ь_а)Ь-д) ПРИ Ь — а —» оо.
II д
•^т-^і(А) . Из лемм 2.10 и 2.11 еле-I ил
дует, что выражение
ж г“ - ж ОШ зг1) Щ"**»
дХ г0 (л) А -7 (А) ) дХ гДА) А-7) шх (А)
(А) А + 7 д ( г2 (А) го(А) Х-'удХ
(А) А + 7 г2 (А) д |"(А) А-7 а>Г(А) дХ Л (А) + /2 (А) + /з(А)
УҐ2(Х)
является ПЛС функции ограниченной вариации. Таким образом, применяя лемму 2.9, можно записать

<Рі(Х) = -Шд(Х) [/і(А) + /2(А) + /з(А)]<ь'“>.

(шо (А))
г^(А) А+ 7 г^(А)
.го(Х) А-7Ц (А)
Ж2(Х)
(Ь,оо)
(55)
Так как — (ш^"(А)) - ПЛС функции ограниченной вариации (см. лемму 2.11), функ-+
ция А±1 есть ПЛС функции ограниченной вариации, сосредоточенной на неотри-г0 *
цательной полуоси, ^С^И^А)— ПЛС функции ограниченной вариации с изменением на полуоси (—оо, а), то по лемме 1.3 второе слагаемое в (55) не превосходит по норме
К ,
с3||Ж2(А)|| д (г^(А) А +
Гг^(А) А+ 7' (6-а, оо)
1.го’(А) А-7.

(56)
{г+(а) д + 'уЧ
Отметим, что — ( -4г/.; т ) является ПЛС функции, сосредоточенной на неотри-
го (А) А — 7
цательной полуоси, ( ~~ттт) ■ ^т^г(А) — ПЛС функций, сосредоточенных на ОЛ С*^2 ^)
неположительной полуоси и на полуоси (—оо, а) соответственно. Теперь аналогично предыдущим рассуждениям с помощью леммы 1.3 получим оценки
1 {Ь—а,оо)
||[Д(А)1(Ь'М)|| < с4||^2(А)||
К1,
||[/з(А)](6’те)||<с6
Г_5_ (г2(Х) А + 7А1 [дХ Гд'(А) А
№“"”>11 < С,||«4(Л)||| [|И АЩ]1*-'”’! = ,,
гПX) А + 7І(Ь“а'00)

Ж2(Х)
То (А) А-7]

Ь-а’
(57)
(58)
(59)