Оценки скорости сходимости обобщенных процессов кокса с ненулевым средним и некоторые их применения

• Автор: Артюхов, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 114 с. : ил.

1 Оценки точности аппроксимации обобщенных процессов Кокса с не нулевыми средними смесями нормальных законов
1.1 Обобщенные процессы Кокса
1.1.1 Случай управляющих процессов с конечной дисперсией
1.1.2 Случай управляющих процессов с бесконечной дисперсией
1.2 Экстремумы обобщенных процессов Кокса
1.3 Обобщенные процессы риска
2 Оптимизация параметров спекулятивной деятельности
2.1 Общая постановка задачи
2.2 Неоднородные потоки клиентов
2.3 Однородные потоки клиентов
3 Применение асимптотических свойств обобщенных процессов Кокса в некоторых задачах оптимизации
3.1 Общая постановка задачи
3.2 Применение асимптотических свойств обобщенных процессов Кокса в одной
задаче оптимизации резерва
3.3 Применение асимптотических свойств обобщенных процессов Кокса в задаче
оптимизации параметров процесса рисхса
3.3.1 Гарантированные оценки для начального капитала страховой компании
3.3.2 Гарантированные оценки для оптимальной ставки страховой премии

3.3.3 Гарантированные оценки для времени достижения желаемого значения резерва
3.4 Применение асимптотических свойств обобщенных процессов Кокса в задаче оптимизации начального капитала страховой компании. Альтернативный подход
3.5 Применение асимптотических свойств пуассоновских случайных сумм в одной задаче оптимизации резерва
4 Применение асимптотических свойств обобщенных процессов Кокса в задаче оценки надежности модифицируемых систем. Случай непрерывного времени
4.1 Неоднородные рекуррентные модели изменения надежности модифицируемых систем. Непрерывное время
4.1.1 Неоднородные экспоненциальные модели с непрерывным временем
4.1.2 Неоднородные логистические модели с непрерывным временем
4.1.3 Неоднородные гиперболические модели с непрерывным временем
Литература

Объект исследования
Данная работа посвящена изучению некоторых асимптотических свойств специальных случайных сумм - сумм независимых случайных слагаемых, в которых число слагаемых само является случайной величиной и неограниченно увеличивается в соответствии с некоторым дважды стохастическим пуассоновским процессом, также называемым процессом Кокса. Такие суммы описывают поведение координаты частицы при неоднородном или нестационарном случайном блуждании. От однородного случайного блуждания оно отличается тем, что распределения случайных интервалов времени между последовательными скачками являются, вообще говоря, различными. Предположение неоднородности (различия распределений времен между последовательными скачками) случайного блуждания хорошо согласуется с представлением о том, что интенсивность изменений координаты частицы, испытывающей броуновское движение в изменяющейся (например, турбулентной) среде, существенно непостоянна. Это непостоянство может быть вызвано многими причинами, проявляющимися, например, как непериодические ИЛИ периодические КОМПОШ'НТЫ (тренды), связанные с изменениями локальных (во времени) тенденций, например, панического характера на биржах при моделировании динамики финансовых или экономических показателей или внешних параметров тороидальных магнитных ловушек (токамаков и стел-лараторов) при моделировании плазменной турбулентности (Королев, 2007). Кроме того, участки нестационарностп могут быть вызваны некоторыми случайно возникающими (не поддающимися абсолютно надежному прогнозированию) причинами.
Пусть Дг(4) - число скачков случайно блуждающей частицы за период времени [0, ?], t > 0. При решении многих практических задач естественно считать, что моменты скачков

БИр Р

0А- ((а-)*+ (*-)*)+(а-)2(л-)2]й24
У--За~ А“<
< х
(2.2.9)
откуда по лемме 2.2.1 вытекает оценка
/ ;• — (а+А+ + о А )Й
Л0+)2 + (0-)2]*
Следовательно, для гарантированной прибыли г (с5) выполняется неравенство тт < г(5) < Г2, где Г1 И 7*2 - решения уравнений
соответственно. Отсюда окончательно получаем гарантированные оценки нижней и верхней границ гарантированной прибыли:
где для 7 € (0,1) символом г»(7) обозначается 7-квантиль стандартного нормального закона. В следующем параграфе мы рассмотрим несколько модельных примеров применения полученных оценок для поиска оптимальной маржи в смысле задачи 2.1 или 2.2 для однородного случая.
2.3 Однородные потоки клиентов.
В данном параграфе нас будет интересовать прибыль компании в некоторый фиксированный момент времени Ь при следующих предположениях: пусть и - проекции процессов Лг+(т) и №~(т) в момент времени Ь. Предположим, что случайные величины ЛГ+ и IV-имеют пуассоновское распределение с параметрами А+ и А-, которые, как уже отмечалось