Исследования по теории арбитража в стохастических моделях финансовых рынков

• Автор: Рохлин, Дмитрий Борисович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 293 с.

Содержание
Введение
§0.1. Краткий исторический обзор
§0.2. Модель с дискретным временем и конечным горизонтом
§0.3. Модель валютного рынка с операционными издержками
§0.4. Границы цен платежных обязательств
§0.5. Модель с дискретным временем и бесконечным горизонтом
§0.6. Модель большого рынка
§0.7. Структура и результаты работы
Глава 1. Теорема Даланга-Мортона-Виллинджера
§1.1. Формулировка теоремы БМ¥
§1.2. Вспомогательные результаты
§1.3. Доказательство теоремы БМ¥
Глава 2. Нижние оценки плотностей мартингальных мер
§2.1. Одношаговая модель
§2.2. Доказательство теоремы 2.1 при р € [1, оо)
§2.3. Доказательство теоремы 2.1 при р = оо
§2.4. 77-шаговая модель
§2.5. Примеры
Глава 3. Критерии отсутствия арбитража при выпуклых ограничениях на портфели активов
§3.1. Обозначения и вспомогательные результаты
§3.2. Основные результаты
§3.3. Ограничения, зависящие от капитала

Глава 4. Критерии отсутствии арбитража в моделях с операцион-
ными издержками
§4.1. Носитель регулярного условного распределения многозначного отображения
§4.2. Основной результат
§4.3. Критерий безарбитражности рынка с операционными издержками
§4.4. Модель рынка с банковским счетом
§4.5. О построении арбитражных стратегий
Глава 5. Теорема о мартингальном выборе
Глава 6. Рекуррентные формулы для границ цен платежных обязательств
§6.1. Основные результаты
§6.2. Классификация начальных портфелей
§6.3. Субдифференциальное описание множеств И+, Н
§6.4. Рекуррентные формулы для Н+, Н
§6.5. Примеры
Глава 7. Критерии безарбитражности в моделях рынков с дискретным временем и бесконечным горизонтом
§7.1. Теоремы о существовании эквивалентных супермартингальных плотностей и мер
§7.2. Примеры множеств, удовлетворяющих введенным аксиомам
§7.3. Доказательство теоремы 7.1 (о существовании БЭБ)
§7.4. Доказательство теоремы 7.2 (о существовании ЕЭМ)
§7.5. Дальнейшие свойства множеств замкнутых по Фату
§7.6. Модель рынка с конечным числом основных активов

§7.7. О существовании эквивалентных мартингальных плотностей при наличии счетного числа основных активов: контрпример
Глава 8. Теорема Крепса-Яна
§8.1. Теорема Крепса-Яна для слабо линделёфовых банаховых пространств
§8.2. Теорема Крепса-Яна для Т°°
§8.3. Теорема Крепса-Яна для банаховых идеальных пространств
Глава 9. Асимптотический арбитраж и эталонные портфели на больших финансовых рынках
§9.1. Основные результаты
§9.2. Модели рынков на конечных вероятностных пространствах
§9.3. Семимартингальные модели рынков
§9.4. Диффузионные модели рынков
§9.5. Модель рынка с дискретным временем, бесконечным горизонтом и
одной ^-нормальной акцией
Глава 10. О существовании эквивалентной супермартингальной плотности для разветвленно-выпуклого семейства случайных процессов
§10.1. Основные результаты
§10.2. Доказательства
Приложение А, Измеримые многозначные отображения
Литература

временем и бесконечным горизонтом (теорема 7.4), в моделях больших рынков (теоремы 9.1 - 9.4). Подытоживая эти результаты, можно отметить, что в моделях с дискретным временем и конечным горизонтом критерии безарбитражности могут быть выражены в терминах носителей условных распределений процессов (возможно многозначных), определяющих динамику цеп активов и правила торговли. Аналогичным образом определяются и области безарбитражных цен платежных обязательств (теоремы 6.1 - 6.3). В случае бесконечного горизонта, непрерывного времени и, более общо, в модели большого рынка выполнение одного из наиболее естественных условий безарбитражности (условия отсутствия асимптотического арбитража) определяется поведением однозначно определенных эталонных портфелей.
Среди других результатов работы выделим поставленную автором задачу о мартингальном выборе и ее решение: теорему о мартингальном выборе (гл. 4); новые рекуррентные формулы для границ цен платежных обязательств как на идеальном рынке, так и на рынке с операционными издержками (гл. 5); новые версии теоремы Крепса-Яна (гл. 8); критерии существования нижних оценок плотностей мартингальных мер (гл. 6); новое доказательство теоремы Даланга-Мортона-Вил-линджера (гл. 1).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22, 23, 25, 26, 28-31, 33, 157-159, 161]. Работы [32, 34, 160] находятся на рецензии. К тематике диссертации относятся также работы [21, 24, 27].
Идеи примеров 2.2, 2.4 заимствованы из совместной работы [161]. Они принадлежат соавтору. Также проф. Шахермайер указал автору на ценность леммы 8.3 как самостоятельного результата и предложил простую схему ее доказательства (в диссертации эта схема использована также при доказательстве лемм 1.7, 2.3, 8.7). В первоначальном варианте данный результат был скрыт в доказательстве теоремы 2.1 работы [157], а его обоснование опиралось на косвенные соображения, связанные с преобразованием Юнга-Фенхеля.