Липшицевы свойства реализаций случайных процессов

• Автор: Шерматов, Азамжон Абдурахмонович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 139 c. : ил

§ I. ПРОСТРАНСТВА ЛИПШИЦА

§ 2. УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛИПШИЦА

§ 3. ИНТЕГРАЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

§ 4. ДРОБНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ СТАЦИОНАРНЫХ

ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

§ 5. УСЛОВИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ПРОСТРАНСТВАМ ЛИПШИЦА ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИЙ СТАЦИОНАРНЫХ ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

§ 6. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СТАЦИОНАРНЫХ ГАУССОВСКИХ

ПРОЦЕССОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛИПШИЦА

§ 7. УСЛОВИЯ ЛИПШИЦА ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ

ЛИТЕРАТУРА

Локальные свойства траекторий случайных процессов представляют собой интенсивно развивающуюся область в теории случайных процессов. Основная задача, возникающая здесь, заключается в выяснении условий (необходимых, достаточных, или тех и других одновременно), при которых реализации случайных процессов принадлежат определенным функциональным пространствам. Такая задача представляет интерес и для теории меры в бесконечномерных пространствах, поскольку самым непосредственным образом связана с вопросом о продолжении меры с 6-алгебры цилиндрических множеств до б"-алгебры борелевских множеств.
Изучение локальных свойств случайных рядов Фурье восходит к работам Р,Дэли, А.Зигмунда, Н.Винера. Начиная с классической теоремы А.Н.Колмогорова значительное число работ было посвящено ис -следованию непрерывности почти всех траекторий различных классов случайных процессов и полей. При решении этой задачи в работах Ю,К.Беляева [ 3,4], В.Н.Судакова [47 ], Р.Дадли 116,56] Д.Дель-порта С 55 ], К.Ферника [ 50 ] были созданы новые методы исследования, позволившие в конечном счете установить критерий непрерывности стационарных гауссовских процессов (полей).
Изучению различных аспектов локального поведения траекторий случайных процессов и полей посвящено большое количество работ, среди которых (помимо уже указанных) наиболее близкими к теме диссертации являются работы Г.Ханта [48 ], Ж.П.Кахана [ 24 ] , М.Й.Ядренко 1 51, 52 3, И.А.Ибрагимова 121,22], Ю.В.Козаченко£26,128],

В.В.Булдыгина [5,7 ], В.И.Питербарга [43 ], Н.Джейна и М.Маркуса С 5В], М.Маркуса и Г.Пизьера [ 67,68 3» И.К.Мацака [ 38 ], М.Акбарова и М.А.Мирзахмедова С 2 3» В. А.Дмитровского С18,193и ряда других математиков. Отметим, что подробный обзор результатов и обширная библиография имеются в работах Р.Дадли [16 3» К.Ферника [50 3, В.И.Питербарга [ 42, 433, а также в известной книге Г.Крамера и М.Лидбеттера (с дополнением Ю.К.Беляева) [ 33 ].
По сравнению с условиями непрерывности менее изученным является вопрос о более тонких локальных свойствах траекторий случайных процессов и, в первую очередь, свойство липшицевости. Известные результаты Ю.К.Беляева [4,533дают в спектральных терминах достаточные условия того, что почти все реализации стационарного гауссовского процесса удовлетворяют условию Липшица. В терминах моментов приращений обобщением условия А.Н.Колмогорова на случай липшицевости являются условия М.М.Ядренко [51 ], И.А.Ибрагимова[21, 22 3» Ю.В.Козаченко [28 3. Изучению свойства липшицевости случайных процессов и полей посвящены также работы [29,54,64,66, 69 ].
Однако, до сих пор даже для стационарных гауссовских процессов не известен критерий принадлежности почти всех траекторий пространствам Липшица. (В диссертационной работе в определенной мере устраняется этот пробел).
Исследование локальных свойств случайных процессов тесно связано с изучением условий плотности семейств вероятностных мер в функциональных метрических пространствах. Последние же, согласно классической теоремы Ю.В.Прохорова [ 41 3 играют важную роль при изучении предельных теорем для различных классов функционалов от реализаций случайных процессов. Условие (типа условия Колмогорова) плотности семейства вероятностных мер в пространстве непрерывных функций широко известно и установлено в работе Ю.В.Прохо-

ГСсП = / ^ ё*сИ о
- гамма функции Эйлера.
В теории тригонометрических рядов Фурье определение дробного интеграла в смысле Римана-Лиувилля оказывается неудобным по ряду причин. Во-первых, интеграл существенно зависит от выбора точки начала интегрирования (точки 5 ) и, во-вторых, функции не обязана быть периодической функцией, если даже таковой является функция X . Поэтому для нужд теории тригонометрических рядов более удобным оказалось определение дробного интеграла, введенное Г.Вейлем.
Определение 3.2. Цусть хСхсЬ) , Ь е Е) - периодическая (с периодом Т >0 ) функция такая, что (ха),Ье С0/П)е
Ц(С0,Т])и
] ха)сИ - о.

Дробным интегралом (в смысле Вейля) порядка о1>0 называется функция Дб.К') , определенная равенством
, г .оС
=:Л— ] а-о эдл, сьею.
Г(<£)
Интегралы в смысле Вейля обладают рядом примечательных свойств, играющих важную роль в различных вопросах анализа. Отметим известную теорему вложения Харди-Литтлвуда [20,57].
Наряду с пространством Липшица Л/Сбс]) порядка оС рассмот-рим класс функций А^([о,С]), удовлетворяющих равномерно на [5,с] условию
хЦ + к) + х (1-к.) -2х(Ь) = 0 (к.) (НО)-