Приближенные методы разделения смесей вероятностных распределений

• Автор: Назаров, Алексей Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 111 с. : ил.

Page
ГЛАВА 1. Устойчивость смесей вероятностных законов к возмущениям
смешивающих распределений
1. Основные определения и свойства
2. Верхние оценки устойчивости для нормальных распределений
3. Характеризация метрики Леви-Прохорова
4. Верхние оценки устойчивости для сдвиг-масштабных смесей нормальных законов
5. Верхние оценки для масштабных и сдвиговых смесей
6. Нижние оценки устойчивости
7. Нижние ценки устойчивости для сдвиговых смесей нормальных
распределений
8. Нижние оценки устойчивости для масштабных смесей нормальных
распределений
9. О существовании нижних оценок устойчивости смесей вероятностных распределений
ГЛАВА 2. Сеточные методы разделения смесей вероятностных распределений
1. Основная идея сеточных методов
2. Разделение конечных смесей нормальных распределений с фиксированными компонентами с помощью сеточного метода максимального правдоподобия. «Усеченный» ЕМ-апгоритм

3. Разделение конечных смесей нормальных распределений с фиксированными компонентами с помощью сеточного метода максимального правдоподобия. Алгоритм условного градиента
4. Приближенное разделение конечных смесей нормальных распределений с помощью сеточного метода моментов
5. Декомпозиция волатильности хаотических стохастических процессов с помощью метода скользящего разделения смесей
6. Применение сеточных методов разделения смесей для декомпозиции волатильности конкретных финансовых индексов
ГЛАВА 3. Асимптотические свойства оценок, полученных с помощью сеточных методов
1. Основные обозначения
2. Основные свойства целевой функции
3. Поведение оценок на фиксированном параметрическом множестве
4. Состоятельность оценок, полученных с помощью сеточных методов
Заключение
Список литературы

Актуальность темы исследования. Смеси вероятностных распределений являются популярными математическими моделями, описывающими статистические закономерности в самых разных областях знания, например, в гидрологии, финансовом анализе, биологии, астрономии, физике плазмы, обработке изображений, актуарной и страховой математике, теории массового обслуживания. Они демонстрируют высокую адекватность при описании неоднородных данных. Смеси вероятностных распределений хорошо зарекомендовали себя при описании хаотических процессов, моделирующих, к примеру, поведение цен финансовых инструментов [1], турбулентной плазмы [1, 2]. Публикации, в которых используются смешанные вероятностные модели, исчисляются сотнями. Многочисленные примеры случайных процессов, имеющих в качестве одномерных распределений смеси нормальных распределений, можно найти в книге [1] и работах из библиографии к ней.
Смеси также используются как неотъемлемые составные части некоторых математических методов. Например, на представлении распределения вероятностей в виде смеси основан байесовский подход к статистическому анализу. Методы нспарамстричсского (ядерного) оценивания распределения вероятностей и кластерного анализа также фактически сводятся к представлению оцениваемого распределения в виде смеси.
Согласно расхожему мнению, чрезвычайно высокая адекватность смешанных вероятностных моделей может быть формально объяснена большим числом настраиваемых параметров, позволяющих подогнать какую угодно модель к каким угодно данным. Среди статистиков хорошо известно высказывание Ж. Бертрана «Give me four parameters and I shall describe an elephant; with five, it will wave its trunk» (цитируется по статье Л.ЛеКама [3]). Это обстоятельство, конечно же, играет заметную роль, однако на самом деле

оценки устойчивости существуют для сдвиговых и масштабных смесей нормальных распределений.
Заметим, что, если опираться на результаты работы [56], для масштабной смеси вида
У = УХ, Х~ЛГ(0,1), 1/>0,
в которой случайные величины X и V стохастически независимы, компактность будет требоваться от семейства смешивающих распределений, соответствующих случайным величинам вида 1п V, а не V.
На практике в большинстве случаев носители рассматриваемых смешивающих распределений ограничены в совокупности. Более того, очень часто они сосредоточены в конечном числе точек. В связи с этим оценки для каждого конкретного случая могут оказаться значительно лучше тех, что выписаны выше. Тем не менее последние имеют существенное значение. Доказательство состоятельности оценок, полученных с помощью сеточных методов разделения смесей вероятностных распределений, опирается на теоремы существования, доказанные в гл.1, п.9. Кроме этого, приведенные примеры позволяют лучше понять, насколько сильно могут изменяться оценки смешивающего распределения при работе с реализациями одной и той же смеси.