Исследования по стохастическому анализу и сингулярным стохастическим дифференциальным уравнениям

• Автор: Черный, Александр Семенович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 223 с. : ил.

Содержание
Введение

Исторический обзор

Стохастические дифференциальные уравнения: определения,

утверждения, примеры

Изолированные особые точки и односторонняя классификация

Двусторонняя классификация и марковские решения

Классификация на бесконечности и частные случаи

Глобальные решения и инвариантные распределения

Структура работы

Апробация диссертации

Глава 1. Стохастические дифференциальные уравнения:
определения, утверждения, примеры
§ 1.1. Базовые определения
§ 1.2. Теорема Ямада-Ватанабэ и связанные вопросы
§ 1.3. Достаточные условия существования и единственности
§ 1.4. Десять важных примеров
Содержание
Глава 2. Изолированные особые точки
и одностороняя классификация
§ 2.1. Изолированные особые точки: определение
§ 2.2. Изолированные особые точки: примеры
§ 2.3. Односторонняя классификация: результаты
§ 2.4. Односторонняя классификация: доказательства
Глава 3. Двусторонняя классификация
и марковские решения
§ 3.1. Двусторонняя классификация: результаты
§ 3.2. Двусторонняя классификация: доказательства
§ 3.3. Точки ветвления: немарковские решения
§ 3.4. Точки ветвления: строго марковские решения
Глава 4. Классификация на бесконечности
и частные случаи
§ 4.1. Классификация на бесконечности: результаты
§ 4.2. Классификация на бесконечности: доказательства
§ 4.3. Степенные уравнения
§ 4.4. Снос постоянного знака
Глава 5. Глобальные решения
и инвариантные распределения
§ 5.1. Глобальные решения: результаты
§ 5.2. Глобальные решения: доказательства
§ 5.3. Инвариантные распределения: результаты
§ 5.4. Инвариантные распределения: доказательства
Содержание
Приложение А. Некоторые известные факты
§ А.1. Локальные времена
§ А.2. Замена времени
§ А.З. Процессы Бесселя
§ А.4. Строго марковские семейства
§ А.5. Прочие утверждения
Приложение В. Некоторые вспомогательные леммы
§ В.1. Моменты остановки
§ В.2. Меры и решения
§ В.З. Прочие леммы
Список литературы
Указатель обозначений
Предметный указатель

Введете
(уц) Если нуль имеет тип (г,]) с г = 2,3, у = 2,3, —оо имеет тип А или В, а +оо имеет тип С, то существует единственное решение. Оно отрицательно.
(уш) Если нуль имеет тип (г, с г = 2, 3, у = 2,3, —оо имеет тип С, а +оо имеет тип А или В, то существует единственное решение. Оно положительно.
(1х) Если нуль имеет тип (г, у) с г = 2,3, у = 2,3, —оо имеет тип С и +оо имеет тип С, то не существует решения.
Тема параграфов 5.3, 5.4 — инвариантные распределения для сингулярных уравнений. Проблема существования и единственности инвариантных распределений СДУ является одной из классических проблем стохастического анализа. Известные результаты (см., например, [29]) отвечают случаю, когда коэффициенты уравнения ’’достаточно регулярны”. Для одномерных СДУ это, в частности, означает, что решение, выходящее из любой точки, может достичь любую другую точку, так что носителем инвариантного распределения служит вся вещественная прямая. Однако часто возникает необходимость рассмотрения СДУ, обладающих инвариантными распределениями, сосредоточенными на некотором интервале вещественной прямой. (К примеру, это нужно в моделях стохастической волатильности, используемых в финансовой математике. В этих моделях инвариантное распределение СДУ, задающего волатильность, должно быть сосредоточено на положительной полуоси.) Заметим, что если интервал I не совпадает с К и уравнение (2) обладает инвариантным распределением р с вирр = I (/ обозначает замыкание /), то это уравнение должно быть сингулярным в описанном выше смысле. Действительно, если для СДУ (2) выполнено условие (3), то для любого а 6 К решение достигнет уровня а с положительной вероятностью.