Об ошибке прогноза стационарного случайного процесса

• Автор: Бабаян, Николай Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 93 c. : ил

ГЛАВА I.. НЕКОТОРЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

. ОГРАНИЧЕННЫХ- МНОЖЕСТВ НА ПЛОСКОСТИ

§Г. .Полиномы Чебышева и трансфинитный диаметр

ограниченного замкнутого множества

§2. Функция Грина и емкость ограниченного

множества

Глава II7 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОШИБКИ ПРОГНОЗА.

ДИСКРЕТНОЕ ВРЕМЯ

§1. Постановка задачи

§2. Условия экспоненциального убывания ошибки

прогноза
§3. Условия степенного убывания ошибки прогноза
§4. Асимптотическое поведение дисперсии наилучшей
несмещенной линейной' оценки
Глава III. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОШИБКИ ПРОГНОЗА СТАЦИОНАРНОГО ОБОБЩЕННОГО ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА
§1. Постановка задачи
§2. Целые функции экспоненциального типа
§3. Функции, аналитические в полосе. Пространства
Харди
§4. Одна теорема об асимптотике наилучших
приближений
§5. Некоторые результаты М.Г. Крейна
§6. Доказательство теоремы 3
ЛИТЕРАТУРА

Диссертационная работа посвящена исследованию двух задач спектральной теории стационарных в широком смысле процессов. Первая из них касается асимптотического поведения ошибки наилучшего линейного прогноза по конечному прошлому, когда длина отрезка, по которому ведется прогнозирование, стремится к бесконечности, вторая - асимптотического поведения дисперсии наилучшей несмещенной линейной оценки (НЛНО) для среднего процесса.
Работа состоит из настоящего введения и трех глав.
Здесь во введении мы приводим постановку задач, краткий обзор связанных с этой тематикой результатов различных авторов и формулируем основные результаты диссертации.
Глава I носит вспомагательный характер. В ней собраны необходимые в дальнейшем результаты, каксающиеся таких понятий, как емкость, трансфинитный диаметр, функция Грина и некоторых других, связанных с ограниченным подмножеством комплексной плоскости.
Пусть Р"* - ограниченное замкнутое множество на плоскости
комплексного переменного £ , а
многочлен Чеоышева для множества р”1 , т.е. многочлен наименее
уклоняющийся от нуля на множестве г в равномерной метрике:
т,ЛО ^тах|ТдхР)Цтах а (
где - произвольный многочлен степени с единичным
старшим коэффициентом.
Предел последовательности чисел Л| УУ1) АР) , который, как известно (см. [б^), существует и конечен, называется трансфинитным диаметром или емкостью множества Г-"* (понятие емкости ограниченного множества первоначально определялось иначе, но,как показал Г.Сеге, оно тождественно понятию трансфинитного диаметра),

которую мы оудем ооозначать
г (Е) = и^^'^ЛР)'
УЛ/ —»*Оо
итметим, что емкость прямолинейного отрезка равна четверти его длины, емкость окружности равна ее радиусу.
дели С - произвольное ограниченное множество на плоскости
где точная: верхняя грань оерется по всем замкнутым подмножествам Е* множества ^ , называется внутренней емкостью, а число
= «О • НЕ)
где - замыкание , называется внешней емкостью множества !г_ . Ясно, что , г"
с.(Е) < ^ (£) (0.2)
и если в этом неравенстве достигается равенство, то соответствующее множество Е называется ^-измеримым.
Примерами % -измеримых множеств служат открытый прямолинейный отрезок и открытый круг, а также открытая дуга окружности. Объединение конечного числа % -измеримых множеств снова ^-измеримо (см. лемму 1.9), в частности, множество, состоящее из объединения конечного числа открытых дуг единичной окружности 'С-из-меримо.
Полна [зЁ доказал, что если емкость линейного множества равна нулю, то линейная мера его тоже равна нулю. Обратное, однако, неверно; известно (см. , [1^ ), что среди подмножеств прямолинейного отрезка существуют подмножества меры нуль и положительной емкости. В главе I доказывается существование такого множества на единичной окружности.
ЛШМА 1.1и. Ка единичной окружности существует ^-измеримое множество меры нуль, емкость которого равна емкости окружности

его точек Лебега.
ТЕОРЕМА 2.3. Если каждая точка замыкания множества Ед является регулярной точкой ЕА (°м* определение 1.2), то множество Ед - 'С-измеримо и
С (Е) = (2 • 37)
Vv —1>оо
Доказательство.
^-измеримость множества Е А следует из леммы I.I7. Далее, в силу соотношений (1.26; и (2.16)
(2.зь;
Vv—>oo W—
для доказательства ооратного неравенства для нижнего предела зададим произвольное достаточно малое %>~р- О и рассмотрим те подмножества множества Е^ * Для которых выполняются
неравенства к
x« £Д t=t(Lj) (2.39)
Пусть Zv - точка, , в которой достигается максимум
lp>(z,Ej)l:
zeEß 1
Если f - замкнуто, р с. £д , то
/У ^ ш»ъ1РМ,Ел)Ы
так что Х6 Г
£& ТК > ^ = г^)=г
И —+сх> Рс' Ед
и, следовательно,
4ш. У~м1 Г(Г)= с(Е,)
Отсюда следует, что найдется такое натуральное число М,~Р,а) ■
что при л,>л( , г^б £ ЙД ,
(2.40)