Многоканальные системы обслуживания с неидентичными приборами

• Автор: Ткаченко, Андрей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Эргодичность многоканальной системы обслуживания с различными приборами и регенерирующим входящим потоком

1.1 Регенерирующие потоки

1.1.1 Определение регенерирующих потоков

1.1.2 Свойства регенерирующих потоков

1.2 Эргодичность и стохастическая ограниченность регенерирующих процессов, характеризующих системы обслуживания .

1.2.1 Описание процессов и основные определения

1.2.2 Эргодичность и стохастическая ограниченность процессов

1.3 Эргодическая теорема для многоканальной системы обслуживания с нсидентичными приборами
1.3.1 Описание модели
1.3.2 Эргодическая теорема
1.4 Условие эргодичности иерархических сетей обслуживания с регенерирующим входящим потоком
1.5 Предельные теоремы для многоканальных систем обслуживания, функционирующих в условиях высокой загрузки. . .
1.5.1 Жидкостные системы обслуживания
1.5.2 Модифицированная система обслуживания
1.5.3 Стандартная многоканальная система обслуживания
Глава 2. Системы Де<7|С|г|оо с ненадежными приборами
2.1 Система обслуживания с ненадежными и восстанавливающимися приборами

2.1.1 Эргодичность системы обслуживания с ненадежными приборами
2.1.2 Предельные теоремы для многоканальной системы обслуживания с ненадежными приборами
2.2 Эргодичность многоканальной системы обслуживания, функционирующей в случайной среде
2.3 Система с различными временами обслуживания, зависящими от состояния системы
Глава 3. Системы ЯедСг с нетерпеливыми требованиями
3.1 Описание модели
3.2 Лемма о мажорировании
3.3 Эргодическая теорема для системы обслуживания с нетерпеливыми требованиями
3.4 Предельные теоремы для системы обслуживания с нетерпеливыми клиентами
Литература

Введение
Диссертация подготовлена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и затрагивает ряд вопросов, относящихся к теории массового обслуживания (теории очередей) и теории случайных процессов.
Предметом настоящей диссертации является исследование моделей многоканальных систем массового обслуживания с неидентичными приборами и регенерирующим входящим потоком, а также приложение полученных результатов к системам с ненадежными и восстанавливающимися приборами и системам с нетерпеливыми клиентами. Основное внимание в работе уделяется отысканию условий эргодичности систем и их поведению в условиях высоких и сверхвысоких загрузок.
Многоканальные системы обслуживания давно и интенсивно изучаются многими авторами. В значительной мере это связано с широким кругом применений в самых различных областях: компьютерные системы, коммуникационные сети, супермаркеты, аэропорты и т.д. (см. например [108]) (Заболтзку, Зграпкжвкц 1995). Одна из первых проблем, возникающих при анализе этих моделей, — выяснение условий существования собственных предельных распределений (условий стабильности) у процессов, описывающих функционирование систем. Проблема условий эргодичности систем достаточно традиционна для теории массового обслуживания. Эти условия представляют значительный интерес для приложений, поскольку они определяют соотношения между параметрами модели, при которых не образуется бесконечно больших очередей. С другой стороны, доказательства соответствующих предельных теорем приводят к анализу сложных случайных процессов, вообще говоря, немарковских, что способствует разработке новых подходов и методов. Если удается построить цепь Маркова, связанную с функционированием системы, то доказательства опираются

2. Если существует к, такое что > И7’*, тогда на множестве Ап+ единственное требование, поступившее в момент ^1/(га+1) € (вп,9п+ х], будет обслуживаться не на г-м приборе, а значит
К+1 = №~тп+1]+<[(?-А]+.
Аналогичное неравенство выполнено и на множестве Вп+1.
Теперь из обоих пунктов можно заключить
Р{^+1<[А-Д]+|^„<^}>
> НК+1 < [& - А]+|Й^„ < Ап+1} • Р{И^п < ~б, Л+1} |
Р{Й^„ <
+ Р{^+1 < [С* - А]+1^га < В +1) • Р{Й^„ < д,Вп+1} _
Р{^„ <
= Р{Аг-и} + Р{Вп+1} > о,
что доказывает (1.7).
Поскольку У/п является Марковским процессом, то из (1.7) следует, что найдется некоторое 1{Сг) € |1, 2,..., + 1|, такое что
Р{И^(С() = 0|^„<^}>0. (1.8)
Заметим, что для остальных приборов будет выполнено

р{и/у,(С.) <с*+£ч;(п+й|#„< 1, о*.

а значит, в силу конечности математических ожиданий элементов последовательности к = 1, г случайные величины №£+[,с^ к = 1,г
ограничены почти всюду на множестве Л < С^}. Введем множество £)п = {У^пЩС1) = 0} П {Й^„ < (^}. В силу (1.8) это множество ненулевой меры. На множестве Ап+цс*)+_/ • А ■ А(п+/(С‘)+7')’ 7 — 1 требование, поступившие в момент 11/(пщ&)+1) пойдет на обслуживание на г-й прибор и закончит его до момента наступления п + 1(Сг) +у-й регенерации, так что = 0- При этом для остальных приборов будет выполнено

Щп+1(С,г)+7 = [РРп+г(<Д) — У^тп+ДС*)+а] + - (1-9)