Уточнение структуры оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин

• Автор: Шевцова, Ирина Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 111 с. : ил.

1. Оценки скорости сходимости в ЦПТ для сумм независимых случайных величин
1.1. Вспомогательные результаты. Оценки близости характеристической функции суммы независимых случайных величин и нормальной характеристической функции, а также
их производных
1.2. Равномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ
1.2.1. Уточнение верхней оценки абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена для сумм независимых слагаемых с конечными третьими моментами
1.2.2. Оценки скорости сходимости для сумм независимых слагаемых, не имеющих третьего момента
1.2.3. Оценки скорости сходимости для сумм независимых слагаемых с ограниченной плотностью
1.2.4. О причинах разрыва асимптотически наилучшей константы, рассматриваемой как функции от максимального порядка момента случайного слагаемого
1.3. Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ
2. Оценки точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных сумм независимых случайных величин
2.1. Вспомогательные результаты. Связь распределения пуассоновских случайных сумм с суммами неслучайного числа случайных величин

2.2. Уточнение верхней оценки абсолютной постоянной в аналоге неравенства Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм независимых слагаемых с конечными третьими моментами
2.3. Оценки точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских сумм независимых слагаемых, не имеющих третьего момента
2.4. Оценки точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских сумм независимых слагаемых с интегрируемой характеристической функцией
2.5. О структуре полученных оценок
3. Оценки скорости сходимости в ЦПТ для распределений сумм независимых случайных величин с интегрируемой характеристической функцией
Приложение. Графики
Литература

Задача изучения точности нормальной аппроксимации, возможность которой предоставляется центральной предельной теоремой (ЦПТ) теории вероятностей, является одной из ключевых проблем теории вероятностей и имеет долгую историю, богатую красивыми и значительными результатами. В разное время в этой области работали А. М. Ляпунов, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчип, П. Леви, Г. Крамер, В. В. Гнеденко, Ю. В. Прохоров, К.-Г. Эссеен, И. А. Ибрагимов, Ю. В. Линник, В. М. Золотарев,
В. В. Сазонов, В. В. Петров, Л. В. Осипов, К. Хейди и другие выдающиеся математики. Оценкам точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин уделено большое внимание в основополагающей книге Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова [5], в ставших классическими монографиях И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника [10], В. В. Петрова [17, 18] и В. М. Золотарева [8]. Более того, этой проблематике посвящены специальные глубокие монографии Р. Н. Бхаттачария и Р. Ранга Рао [4] и В. В. Сенатова [48]. Несмотря на большую популярность и хорошую изученность этой классической проблемы, как оказалось, в ней все-таки остались некоторые пробелы; заполнению нескольких таких пробелов и посвящена данная работа.
Развитие задачи шло, естественно, от качественного к количественному уровню: если целью работ начала XX века было установление правильного порядка скорости сходимости и изучение влияния различных свойств распределения случайных слагаемых на порядок, то последние работы носили, скорее, количественный характер и имели целью вычисление и уточнение неизвестных констант, входящих в оценки остаточного члена. Такое направление развития упомянутой задачи обусловлено желанием исследователей не только удовлетворить свой теоретический интерес, но и иметь возможность применения нормальной аппроксимации на практике. В самом деле, реальные выборки всегда конечны, поэтому при подмене неизвестного распределения суммы независимых случайных величин нормальным распределением исследователь всегда до-

Теорема 1.3. Пусть выполнены условия (20), (2) с некоторым 0 < 5 < 1 и (16). Тогда для любого п ^ 2 справедлива оценка
убывает экспоненциально быстро с ростом п.
Поскольку основной вклад в оценку (1.17) вносит первое слагаемое под знаком инфимума в правой части, медленнее других убывающее по п, существенную роль играет абсолютная константа в этом слагаемом. С целью сделать вид коэффициента при ляпуновской дроби в первом слагаемом более наглядным, мы приведем еще одну, эквивалентную, но, па наш взгляд, более удобную формулировку теоремы 1.3. Учитывая свойства функции К(5,(1) и напоминая, что через <1(5, е) мы обозначили единственный корень уравнения
(см. формулы (1.12), (1.13) и (1.14)), мы приходим к следующему утверждению.
Теорема 1.4. Пусть выполнены условия (20), (2) с некоторым 0 < 5 ^ 1 и (16). Тогда для любого п^2 справедлива оценка
где С(5) определено в (1.13), а У„(Р2+б,д,(Т) и \гп(А,Р2+5>$,д) определены в формулировке теоремы 1.3.
+ Уп(02+б,д,(1) + Уп(А, @2+6,5,(1)|, (1.17)
где К(5,<1) определено о (1.12),
Замечание 1.2. Для любого 5 Є (0,1] сумма
Уп(Р2+5,5,д) + Уп(А,Р2+5,5,<Т)
К(5, д) = С(5) + є, є > 0, где С(5)
21-<5/2Г(2±£)
7г(1 +<5)(2 + <5)
+ И/’п(Д,/32+<5,5, д(5, є))|,