Сумма и вариационный ряд независимых случайных величин

• Автор: Ефимова, Елена Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 135 c. : ил

ГЛАВА I. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОРЯДКОВЫХ СТАТИСТИК

§ I. Вспомогательные утверждения

§ 2. Обобщенный экстремальный критерий

§ 3. Сумма и центральные члены вариационного

ряда независимых случайных величин

§ 4. Числовые характеристики

§ 5. Глобальные предельные теоремы

§ 6. Предельные распределения для порядковых

статистик
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ТИПА МАКСИМУМА ДЛЯ АСИМПТОТИЧЕСКИ НОРМАЛЬНЫХ СУШ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

§ I. Вспомогательные утверждения

§ 2. Предельные теоремы для частичных сумм
ЛИТЕРАТУРА

Диссертация посвящена выяснению связей между слабой сходимостью распределений сумм независимых случайных величин и слабой сходимостью порядковых статистик, построенных по слагаемым. Аналогичный вопрос выясняется по отношению сходимости в среднем.
Во второй главе рассматривается ряд вопросов, связанных с асимптотическим поведением распределений ряда функционалов от асимпто-* тически нормальных сумм независимых случайных величин. Ниже приводятся основные определения, результаты диссертации и краткая история рассматриваемых в диссертации вопросов.
Пусть дана последовательность { независимых случайных величин. Обозначим функцию распределения
Определение 0.1. Случайные величины Зх, расставленные в порядке возрастания
членом вариационного ряда или I -ой порядковой статистикой.
При I - и с = гь мы имеем дело с экстремальными порядковыми статистиками, минимальной и максимальной.
Одной из задач, которой посвящено много работ, является задача описания предельных распределений для распределения величин
при надлежащим образом выбранных числах и . Первые
результаты в этом направлении принадлежат М.Фреше [1]. Им был описан один из трех возможных типов предельных законов для максимального члена вариационного ряда в случае одинаково нормально распределенных случайных величин . Дальнейшее исследование
называются вариационным рядом. Величина
называется і

было проведено Р.Фишером [2] и Л.Типпетом [з]. Ими были открыты три возможных предельных закона. В работе Р.фон Мазеса [4], в частности, введено понятие области притяжения, связанной с исследованием предельных распределений максимального члена вариационного ряда.
Наиболее полные результаты, о которых можно сказать, что она суммируют в известной степени исследования этого направления, получены Б.В.Гнеденко [б]. Он показал, что предельные распределения для максимального члена вариационного ряда в случае одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин, т.е. предел функций распределения У С » ОД6
И ^ есть соответствующим образом выбранные действительные постоянные, могут принадлежать только к одному из трех типов
Л 0х-) = ехр (_ - езср С- х)) ;
Єхр(-|з:|А) 5 Х.ІО,
I, х. > о • (1
0 , х.±0,
<9 эор (- х
іде оі - некоторая положительная константа, либо являться несобственным законом. Гнеденко Б.В. были найдены также области притяжения функций распределения к указанным трем типам, причем найдены необходимые и достаточные условия принадлежности функции распределения З'(х-) к области притяжения функции распределения Л(зс-) . области притяжения 'ч|/'сі(5С)и бшщ
найдены в абстрактной форме. Л.Хааном [6] найдены необходимые и достаточные условия для принадлежности функции распределения 51зс) к областям притяжения функции ліг (ос) И <Р (х) <
• Л “ ж
+ Пт- ■Sw, С о Qb: -П kS)
i^-K “ 4jeM"i JsM«
По условию Л ( 7\. , ?Vo при уь 00 , следовательно,
для любого
Sun Л-гЛЛ I f(i)~i(^l-0. (2.14)
/-{:[
По лемме I.I последовательности функций распределения
IЮ. СгЛ,{ flG«)
А “ компактны. Из (2.13) следует, что предельные функции для соответствующих подпоследовательностей из
{ 1*1 9L- )и {l*L&nj
совпадают. Отсюда очевидным образом следует, что для любого Т>0
tin I IT ^(-t)-n. РкД-ь'Й =о. (2Д5)
/t/iT 'jefr^V ' jeK34
Докажем, что для любого Т >0
Bun. uf I П_ f .(t) I-I, >с? (2*I6)
1-bjLT
Предположим противное, т.е. пусть для некоторой ТОЧКИ 7i и
некоторой последовательности £ ft'J