Свойства времен пребывания для дискретных марковских процессов

• Автор: Воротов, Алексей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 100 с.

Содержание
Введение
1 Время пребывания для цепей с дискретным временем
1.1 Основные определения и обозначения
1.2 Конечномерные распределения времени пребывания
1.3 Функция Грина для целочисленных цепей Маркова
1.4 Отсутствие марковского свойства у времени пребывания
2 Время пребывания для цепей с непрерывным временем
2.1 Основные определения и факты
2.2 Проверка марковского свойства времени пребывания для целочисленных симметричных цепей
3 Марковское свойство времени пребывания
3.1 Формулы для изменения функции Грина при добавлении ребер
к графу переходов исходного процесса
3.2 Доказательство марковского свойства времени пребывания
4 Марковское свойство времени пребывания относительно
нескольких состояний
4.1 Формулы для функции Г рина через решения однородного уравнения
4.2 О марковском свойстве времени пребывания относительно
нескольких состояний
4.3 Поле переходов
5 Время пребывания для неоднородных цепей Маркова
5.1 Обобщение рассуждений для однородного случая
5.2 Неэкспоненциальный момент остановки

5.3 Отсутствие марковости времени пребывания для простейшей
неоднородной цепи
Заключение
Список литературы

Введение
В 1939 г. П. Леви в [34] было введено понятие локального времени для броуновского движения. Эта и две последующих его работы [22], [33] положили начало теории локальных времен случайных процессов, интенсивное развитие которой началось с середины 60-х годов. Достаточно подробный и всесторонний обзор важнейших результатов, связанных с броуновским локальным временем, можно найти в [2].
Приведем наиболее удобное и интуитивно понятное представление для локального времени 1(£, х) процесса броуновского движения ги(з) в точке х за время 1:

Цг,х) = Нт* J 1[х1Я+е)(ю(в))<*в о
с вероятностью единица для всех £ > 0 и х Е К.
Как видно, 1(£, х) можно рассматривать как случайный процесс по параметру х. Д. Рэй в [37] показал, что если в качестве £ взять независимый от ги(з) случайный экспоненциальный момент времени, процесс 1(£, х), ж € К, при условии ш(£) = 2 будет марковским. Для некоторых других £ подобные утверждения были доказаны Ф. Найтом [32] и П. Валлуа [41]. Различные методы доказательства этих теорем, обычно называемых теоремами Рэя-Найта, можно также найти в работах [18], [45], [46], [43], [44], [36].
В 1982 г. С.С. Валландером в серии работ [5]-[8] была предпринята попытка перенести результат Д. Рэя с броуновского движения на однородные марковские цепи. Аналогом локального времени в данном случае служит время пребывания т(н) цепи АГ(£) в состоянии V до не зависящего от цепи экспоненциального момента в, а марковское свойство рассматривается относительно условных мер РаЬ, фиксирующих начало и конец траектории (Х(0) = а,Х(в) = Ь)*. Трудность такого обобщения заключается в том, что
*Время пребывания т(*) представляет собой случайное поле, определенное на пространстве состояний цепи. Тем не менее, говоря о марковости, мы не имеем в виду марковские случайные поля, а понимаем марковское свойство по-другому. Как будет показано в работе, марковским случайным полем в его классическом понимании время пребывания не является.

Соответствующую функцию Грина обозначим G00. Функцию Грина после первых п изменений к, как и выше, обозначаем Gn. Тогда из (2.7) следует предельное соотношение.
Утверждение 1. lim Gn — G^ (поточечно).
Далее перейдем непосредственно к изучению марковости времени пребывания.
3.2 Доказательство марковского свойства времени пребывания
Для простоты определений будем предполагать далее, что граф переходов Г = Г(Р) рассматриваемого марковского процесса с непрерывным временем имеет свойство двусторонней проходимости ребер, если С)(а, Ь) > О, то <2(6, а) > 0 для всех а, Ь 6 А. Таким образом, граф Г можно считать неориентированным.
Предполагаем также, что Г связен.
Рассмотрим такую вершину (состояние) V € А (если она существует), что при удалении всех инцидентных ей ребер граф Г распадается на N, 1 < N < со, компонент связности А,..., Ар{. Такие вершины будем называть необходимыми. Для функции к через Д (1 < г < У) обозначим ее ограничение на Д-, продолженное нулем на остальные состояния. Соответствующую Д функцию Грина обозначим СД
Марковское свойство поля времени пребывания т(-) в необходимой вершине у относительно мер РаЪ означает, что для любой функции к > 0 с к(и) = 0 и любого I > 0 выполнено
Согласно формулам (2.12) и (2.15), марковское свойство эквивалентно следующим равенствам:
(3.12)