Асимптотическая эффективность критериев экспоненциальности, свободных от параметра масштаба

• Автор: Чирина, Анна Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 84 с. : ил.

1 Вспомогательные сведения

1.1 Свойства и характеризации экспоненциального распределения

1.2 Критерии эксионенциальиости

1.3 Асимптотическая эффективность по Бахадуру. Большие уклонения

2 Большие уклонения

2.1 Большие уклонения интегральных статистик

2.1.1 Введение

2.1.2 Вычисление функции ср(ц)

2.1.3 Исследование функции ц>{ц). Вычисление функции уклонений

2.1.4 Случай ограниченной функции г(в)

2.1.5 Примеры. Связь с равномерным распределением

2.2 Большие уклонения статистик типа супремума
2.2.1 Статистика Лильефорса
2.2.2 Статистика Барингхауза - Хенце
2.3 Большие уклонения нормированных А-статиетик
2.3.1 Вычисление и исследование функции уклонений
2.3.2 Примеры
3 Асимптотическая эффективность
3.1 Состоятельность
3.2 Вычисление точных наклонов
3.3 Значения ЛАЭ но Бахадуру.
<34
4 Условия локальной асимптотической оптимальности
4.1 Введение
4.2 Интегральные статистики
4.3 Статистики типа супремума
4.4 Нормированные Б-статистики
Заключение
Список литературы

Экспоненциальное распределение играет важную роль в теории вероятностей, математической статистике и приложениях, таких, как теория надежности, анализ данных типа времени жизни и др. (см., например, [2], [4], [5]). В последние годы было построено множество критериев проверки экспоненциальности в тех или иных нснараметрических классах распределений ([29], [50], [17], [25], [30], [35], [60] и др.). Первые же критерии экспоненциальности появились, по-видимому, в середине двадцатого века (критерии Гринвуда [28], Морана [40] и ряд других [55], [18], [24], несколько позже - критерий Лильефорса [37]).
Регулярно появляются обзорные работы, где систематизируются методы построения и исследования критериев экспоненциальности (кроме статьи Эпстейна [24], которая была, по-видимому, первой работой такого рода, упомянем также обзоры [21], [58], [13], [32] и соответствующие разделы в [4] и [20] ). Имеются даже два справочника, посвященные экспоненциальному распределению и родственным с ним распределениям [15], и [41], в которых описан ряд критериев экспоненциальности.
Самая общая постановка задачи проверки экспоненциальности выглядит так: пусть А'ь..., Хп - повторная выборка, т.е. набор независимых одинаково распределенных случайных величин (н.о.р.с.в.), имеющих функцию распределения (ф.р.) Р. Требуется на основании наблюдений Х Хп проверить сложную основную гипотезу Но, состоящую в том, что Р принадлежит классу экспоненциальных распределений £ с неизвестным параметром масштаба Л:
£={Р: ВД- 1 —е~Лх, А > 0, ш > 0}.
Альтернативная гипотеза Н состоит в том, что Р не принадлежит £. Иногда
Переходя к пределу но п при фиксированном N, получим
что и требовалось. Точно так же доказывается и неравенство для Ып. □

Из лемм 2.16 и 2.17 вытекает равенство
lim n-1 lnP(Lin > а) — тах (А:+(а), к-{а
Таким образом, теорема 2.3 доказана полностью.

2.2.2 Статистика Барингхауза - Хенце.
Метод, описанный в предыдущем параграфе, можно применить и к вычислению больших уклонений статистики Барингхауза - Хенце, однако в этом случае требуется доказать ряд дополнительных лемм, и вычисления становятся слишком громоздкими. Вместо этого мы воспользуемся теоремой 1.1, из которой следует, что при нулевой гипотезе статистика ВНп совпадает по распределению, с точностью до бесконечно малого слагаемого, с классической статистикой
с функцией уклонений статистики Колмогорова - Смирнова, которая была найдена в [10] (см. также [14], [7]). Таким образом, верна следующая теорема.
Теорема 2.4. Функция уклонений статистики ВНп при пулевой гипотезе (то есть при экспонспциальности) вычисляется по формуле
Колмогорова - Смирнова. Следовательно, функция уклонений ВНп совпадает
lim п 11пР(ЛЯ„ > а) — sup д(х,а), где
'г'40° O^i^l