Оценка числа инвариантных эйнштейновых метрик на однородных пространствах

• Автор: Граев, Михаил Маркович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Оглавление
Введение
0.1. Исторические замечания
0.2. Основное соглашение и содержание работы
0.2.1. Однородное пространство Є/Н с однократным спектром представления
изотропии
0.2.2. Содержание работы
0.3. Некоторые многогранники Ньютона Р
0.3.1. Симметрическое пространство М простой группы б
0.3.2. Компактное односвязное пространство М = С/Н положительной
эйлеровой характеристики
0.3.3. Флаговое пространство
0.3.4. Классификация систем Т-корней флаговых пространств (уточнение
классификации из [1])
0.3.5. Простой многогранник
0.3.6. Классификация систем Т-корней О, с простым многогранником Ньютона
Р = Р(П)
0.3.7. Седьмой простой многогранник Р(й)
0.3.8. Шестиугольник
0.3.9. Нефлаговое р-симметрическое пространство внутреннего типа и его
система Р-корней
0.3.10. Грани конуса С(Р) и классы эквивалентных метрических графов
0.4. Благодарности
Глава 1.
Уравнение Эйнштейна для инвариантных метрик на однородном ПРОСТРАНСТВЕ С/Ни ЕГО СЖАТИЯХ. МНОГОГРАННИК НЬЮТОНА
§ 1. Оценка числа инвариантных комплексных метрик Эйнштейна в Є/Н
1.1. Инвариантные римановы метрики в Є/Н
1.2. Инвариантные комплексные метрики в Є/Н
1.2.1. Дополнение
1.3. Число £(М)
1.4. Многогранник Ньютона и число Ньютона
1.5. Оценка £(М) < и{М)
1.6. Формула Гильберта - Йенсена и ее следствия
1.6.1. Аналог теоремы Гильберта ([8])
1.6.2. Многогранник Ньютона Р — Рм Уравнение Эйнштейна как уравнение
критических точек функции
§ 2. Описания многогранника Ньютонах помощью фильтраций алгебр Ли и с
помощью тройного отношения
2.1. Фильтрации алгебры Ли и многогранник Ньютона
2.2. Порождение неустойчивых подпространств касательного пространства
ростками киллинговых полей
2.3. Теорема двойственности для многогранника Ньютона Р
2.4. Многогранник Ньютона в случае полупростой группы Є

2.5. Редукция к случаю компактной группы G (дополнение к §2.4)
§ 3. Решения (1.2) как инвариантные метрики Эйнштейна в сжатиях
однородного пространства
3.1. Сжатия алгебры Ли, группы Ли и однородного пространства
3.1.1. Сжатия алгебры Ли g посредством группы (K>o)d
3.1.2. Сжатые однородные пространства М7 = G1/Hp и локальные сжатия
3.2. Интерпретация уравнений (1.2) с помощью сжатий Иненю-Вигнера
3.2.1. Общий случай
3.2.2. Случай однородного пространства полупростой группы Ли G
3.2.3. Случай однородного пространства G/H класса а
3.3. Применение сжатий
3.3.1. Соответствие регулярных расщеплений прямым произведениям
римановых пространств М" х М'р
3.3.2. Грань 7 = а И/3
3.3.3. Теорема об эквивариантном отображении ж
3.3.4. Число риччи-плоских сжатий
3.3.5. Замечания
Глава 2.
Доказательства основных теорем
§ 4. Доказательство формулы Гильберта - Иенсена
§ 5. Доказательство теоремы двойственности
5.1. Доказательство предложения 2.1. Описание конуса допустимых
фильтраций алгебры Ли g
5.2. Описание многочлена s(t)
5.3. Формула для коэффициентов s(t)
5.4. Исключительные подпространства
5.5. Сумма всех неустойчивых подпространств как разрешимая алгебра Ли
5.5.1. Разрешимая подалгебра о С g
5.5.2. Вложение а : о/п —> so(m)
5.5.3. Алгебраическое замыкание а(») в алгебре so(m)
5.6. Доказательство теоремы 2.1 54 § 6. Сжатие эквивариантной римановой субмерсии. Доказательство теоремы
6.1. Сжатия подалгебры, подгруппы и эквивариантной римановой субмерсии
6.1.1. Сжатие подалгебры t С g
6.1.2. Сжатие подгруппы К С G
6.1.3. Римановы метрики в Gf/Kj
6.1.4. Сжатие римановой субмерсии
6.1.5. Разложение в риманово прямое произведение
6.2. Совместные сжатия тотального пространства и базы римановой
субмерсии
6.2.1. Связь между двойственными конусами многогранников Ньютона Рм и
Р-кМ
6.2.2. Совместные сжатия пространств М и жМ
6.3. Доказательство теоремы 3.2 (окончание)

Глава 3.
Примеры и частные случаи
§ 7. Серии однородных пространств компактных простых групп Ли с простыми
многогранниками Ньютона (добавление к § 1)
7.1. Примеры. Равенство v(M) = £{М) в сериях однородных пространств с
фиксированным многогранником Ньютона
7.2. Примеры. Серия с простым многогранником Ньютона IB = I х Аг
7.3. Примеры. Серия с простым многогранником Ньютона П = Аз х Аг
7.3.1. Серия однородных пространств
7.3.2. Формула для разности числа Ньютона v(M) и числа £(М)
изолированных решений уравнения Эйнштейна
7.3.3. Проверка п.1) предложения 7.1 (случай 5м = 0)
7.3.4. Условия совместности систем (1.2), связанных с гранями □ и A3 х I
7.3.5. Проверка п.1) предложения 7.1 (окончание)
7.3.6. Проверка пп.2) и 3) предложения 7.1 (точная формула для 5м)
7.3.7. Вычисление дефекта 5м = v{M) — £(М)
7.3.8. Частный случай М = SU4/T3
§ 8. Флаговые пространства с системой Т-корней типа G2
8.1. Инварианты де Зибенталя пространств М/а
8.2. Трехмерные многогранники Р2 и Рщ
8.3. Однородные пространства с трехмерными многогранниками Р12 и Pi6
8.4. Число Ньютона viGIT2)
8.5. Фасеты многогранника Ньютона Р = Р(Дг)
8.6. Неравенство для £(G2/T2)
Дополнение 1. О пяти особых флаговых пространствах М
Дополнение 2. Вычисление комплексных метрик Эйнштейна в М/а
Дополнение 3. Положительно определенные эйнштейновы метрики на М/сг
§ 9. Грани многогранника Ньютона. Тройные отношения. Метрические графы
9.1. Конусы и многогранники, ассоциированные с тройными отношениями
9.2. Приложение морфизмов симметричных тройных отношений к описанию
граней
9.3. Разбиение конуса Сд на части, занумерованные главными
подмножествами S С I
9.4. Камеры и векторы Вейля. Корни 1 и 2 типов
9.5. Интерпретация с помощью выпуклых тел
9.6. Граница Ньютона многогранника N+..+Щ '
9.7. Уточнения
9.7.1. Уточнение формулы для многогранника Д в Rs, i € / 5
9.7.2. Примеры. Случай единственной камеры. Случай минимального
главного подмножества S
9.8. Связь с классическими камерами Вейля
9.9. Связь с классическими аффинными камерами Вейля to
9.10. Описание граней конуса С{Р{А{)) с помощью метрических графов
9.10.1. Подгруппа Ь(Ап-Д с
9.10.2. Случай п
Список литературы
Глава

Соглашение. Под сжатием М7, 7 С Р однородного пространства М = Є/Н понимается настоящее сжатое однородное пространство группы Ли (?7, если оно существует, или локальное сжатие, т.е. определенный выше росток, в общем случае. Начиная с §3.2.3 всюду, кроме §4 и 5, рассматриваются пространства (7/Я (класса а и другие), имеющие настоящие сжатия для всех 7 с Р.
ЗАМЕЧАНИЕ 3.2. (а) Теорема Гильберта-Йенсена (п.1.6.1) остается справедливой для ростков однородных пространств (при этом условие унимодулярности группы С заменяется на 1ласе(ас1(А)) = О, УХ Є д). — Не меняется и ее доказательство, данное в §4, где используются лишь интегрирование по II/), дифференцирование Ли Ьцг&д = (с1е1;(?)2 Ал>((Д ¥,) ] и>), (где и> — биинвариантная форма объема на С, {УД — базис подалгебры і), 1У — инвариантное векторное поле на Я/1}, W — его горизонтальный лифт на II) и другие действия, имеющие локальный смысл.
(b) Предложение 1.4, следствие 1.2 и выводы п. 1.6.2 сохраняются при замене однородного пространства М=(7/Я унимодулярной группы Є неполным ростком М — germ(t), где 1 = (1,1),Н) - тройка (*) с однократным спектром естественного представления группы Н на 6/ф и выполнено 1гасе(ас1(Х)) = 0,/Х є 6. Это относится и к многограннику Ньютона Рм = Ите(вм)-
(c) В частности, многогранник Ньютона для любого сжатия М7, РмП = Яту(вм7) определяется исходя из семейства всех инвариантных метрик на ростке germ(t7) точно так же, как в п. 1.6.2; он совпадает с многогранником Ньютона системы уравнений Эйнштейна для инвариантной метрики д ма М7.
3.2. Интерпретация уравнений (1.2) с помощью сжатий Иненю—Вигнера.
В этом пункте система (1.2), связанная с каждой гранью 7 многогранника Ньютона Р = Рм однородного пространства М = С/Н, интерпретируется как уравнение Эйнштейна (1.1) для инвариантных метрик на подходящем сжатии М7 пространства М. В частном случае компактного пространства С/Н класса а достаточно считать, что М7 = С/Н — это сжатие (3.2) самого С/Н.
Таким образом, отклонение числа £(М) изолированных инвариантных (комплексных) метрик Эйнштейна в М = Є/Н от числа Ньютона м(М) объясняется появлением инвариантных метрик Эйнштейна хотя бы на одном из сжатий М7, сопоставляемых граням 7 многогранника Ньютона Р
3.2.1. Общий случай. Фиксируем выпуклый многогранник <5, Р С <5 С Б.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Набор однородных пространств М7= СУ./Яд занумерованных всеми гранями 7 многогранника С/, 0 С 7 С <3, называется комплексом однородных пространств (над С/), ассоциированным с М—Є/Н, при следующих условиях: сі) М7 = С7/Яд — однородное пространство с компактной группой изотропии Яд (не зависящей от 7), с однократным спектром изотропии в точке еЯ; с2) д0 = 1}д X V, где V коммутативна; если 7 с 71, то алгебра Ли д7 получается из д71 Яд-инвариантным сжатием Иненю-Вигнера, не влияющим на (]д; естественные представления группы Яд во всех алгебрах Ли д7 совпадают; сЗ) д7/(|д = д/1) и при этом Яд-инвариантные подпространства в д/1) совпадают с Я-инвариантными (достаточно наложить это условие на М7 при 7 = СД;