Правильные разбиения пространств постоянной гауссовой кривизны и их приложения

• Автор: Штогрин, Михаил Иванович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 231 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I.
Метод Делоне-Сандаковой
§1. Основные понятия, определения и задача
§2. Теорема Делоне (основная теорема теории стереоэдров)
§3. Метод пустого шара
§4. Разбиения Дирихле-Вороного
§5. Об одной теореме Сандаковой
§6. Приведенная область пространства параметров задачи
§7. Условие пустоты шара
§8. Нахождение звезд ЬА и фазовых областей для них
Глава II.
Разыскание всех сортов Делоне разбиений Дирихле-Вороного для второй триклинной группы
§1. Метод белых граней
§2. 102 типа расчерток трехмерных параллелоэдров
§3. Пространство параметров бирешетки
§4. Области типов расчерток
§5. Молнии. Срабатывание молний
§6. О схождениях стереоэдров в ребре
§7. Разбиение области типа расчертки на
области сортов Делоне разбиений {5}
§8. Условные стереоэдры
§9. Нахождение полного набора условных стереоэдров
для заданной области Д типа расчертки
§10. Вывод всех общих разбиений {У} для группы РI
§11. Список стереоэдров Б для группы РI

1. Общий список стереоэдров
2. Дополнительные условия
для распознавания стереоэдров
Глава III.
Правильные разбиения пространств и их приложения
§1. О системах центров действия разбиений
Дирихле-Вороного
§2. Ненормальные разбиения трехмерного евклидова пространства
на выпуклые параллелоэдры и их симметрия
§3. О конечности числа типов компактных стереоэдров
Дирихле-Вороного
§4.0 континууме числа типов некомпактных стереоэдров
Дирихле-Вороного
§5. Об областях приведения Вороного,
Венкова и Минковского
§6. Неизгибаемость квадрильяжа кренделя
§7. Примитивные полициклы: критерий
Литература
Таблица 1. Многообразия Браве трехмерных решеток
Рисунки к главе I
Рисунки к главе II
Таблица 2. Стереоэдры Дирихле-Вороного для Р1
Рисунки к главе III
Таблица 3. Декорированные параллелоэдры

Введение
Диссертация посвящена исследованию правильных разбиений (преимущественно разбиений Дирихле-Вороного) пространств постоянной гауссовой кривизны (преимущественно евклидова пространства), а также приложениям правильных разбиений в кристаллографии, физике, химии,теории изгибаемости полиэдральных поверхностей, вложенных в трехмерное евклидово пространство.
Любое правильное разбиение связано с некоторой федоровской группой, транзитивно действующей на стереоэдры этого разбиения, причем с одной и той же федоровской группой могут быть связаны многие различные разбиения. Эти различия могут сказываться не только в метрическом отношении, но и в отношении комбинаторного устройства разбиения.
В трехмерном евклидовом пространстве существует всего 219 абстрактно неизоморфных федоровских групп, найденных независимо друг от друга Е.С.Федоровым и А.Шенфлисом. Известно много различных разбиений, связанных с каждой отдельно взятой федоровской группой. Среди всех правильных разбиений наиболее изучены разбиения на параллелоэд-ры, связанные с федоровской группой, состоящей из одних параллельных переносов. Е.С.Федоров нашел все типы трехмерных параллелоэдров [1, 2], а именно: один общий - 14-гранник и четыре предельных - додекаэдр с четырьмя 6-угольными гранями, параллелограмматический додекаэдр, 6-угольная призма и параллелепипед.
В 1961 г. появилась работа [3], в которой Б.Н.Делоне впервые доказал теорему конечности, а именно, что число комбинаторных типов правильных нормальных разбиений п-мерного евклидова пространства на выпуклые стереоэдры является конечным.
Ближе всего к доказательству этой принципиальной теоремы был в свое время Г.Минковский, который доказал, что число (п — 1)-мерных граней п-мерного параллелоэдра в нормальном разбиении на параллелоэдры не превосходит 2(2” — 1). Б.Н.Делоне обнаружил, что его методом, предложенным в работе [3], доказывается конечность числа различных граней самого многогранника разбиения как выпуклого многогранника не толь-

Доказательство. Выберем такие г и ), что |т| = ((С), и рассмотрим репер £?*, состоящий из двух векторов е, и Из предыдущей леммы легко следует, ЧТО С{Е*) < 22" ''_1С'2’1 2. С другой стороны, нетрудно видеть (рис. 1), что в параллелепипеде М(Е*) существуют точки х с такими координатами (т*,ж*)> для которых выполнены неравенства
|прЄі' Qj lei| Iе; 1 COs(e;e;-)| ! (lij !
е»| е ? а
Поскольку С{Е+) > |ж*|, наша лемма доказана.
Из лемм 1, 2 и 4, очевидно, получаем следующую теорему.
Теорема. Для того чтобы область V конуса К была С-областью, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись следующие два условия:
1) существует такое С2 = const, что для всех реперов Е из области V выполняются соотношения | aL | < С2 (т. е. абсолютная величина проекции любого вектора репера на любой другой его вектор, измеренная длиной последнего, ограничена сверху), и
2) существует такое 0 < С3 = const, что для всех реперов Е из области V выполняется соотношение sinЕ > Сз (т. е. синус Штаудта репера ограничен снизу положительным числом).
2. Примеры областей приведения, являющихся С-областями. Существование областей приведения, не являющихся С-областями.
Как показал Минковский (см. [12]), каждый n-мерный репер, приведенный по Эрмиту-Минковскому, удовлетворяет так называемому основному неравенству, которое представляет собой второе из необходимых и достаточных условий теоремы. Аналогичному неравенству удовлетворяет репер, приведенный по Коркину-Золотареву. Таким образом, для того чтобы показать, что области приведения Эрмита-Минковского и Коркина-Золотарева суть С-области, осталось доказать, что на этих областях выполнено и первое из необходимых и достаточных условий теоремы.
Мы покажем, что в случае приведения по Эрмиту-Минковскому любая пара векторов приведенного репера представляет собой двумерный репер,