Асимптотические свойства метрик неположительной кривизны

• Автор: Полтерович, Иосиф Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 57 с.

Содержание
Введение

1. Структуры на бесконечности пространств
постояной отрицательной кривизны
1.1. Понятие структуры на бесконечности
1.2. Гиперболические пространства и их асимптотическая геометрия
1.3. Пространство А и его свойства
1.4. Формулы расстояния на плоскости Лобачевского
1.5. Асимптотическая геометрия плоскости Лобачевского
1.6. Следствия основного результата
1.7. Пространства постоянной отрицательной кривизны
2. Асимптотические конусы гиперболических
групп
2.1. Понятие гиперболической группы
2.2. Граница гиперболического пространства
2.3. Асимптотические конусы и характеризации гиперболических групп
3. О характеризации плоских метрик на двумерном торе
3.1. Характеризация метрик и уравнение Якоби
3.2. Поля Якоби и симплектическая геометрия

3.3. Диффеоморфизмы окружности и условия Грина
3.4. Завершение доказательства основной теоремы
3.5. Торы с семейством замкнутых геодезических 53 Литература

Введение и основные результаты
Классическая глобальная геометрия изучает свойства геометрического объекта в делом. В последние годы, благодаря результатам М. Громова ([18],[19],[20]) появилось ее новое направление — асимптотическая геометрия, изучающая структуру пространств на бесконечности. Описание этих структур открывает необычный взгляд на геометрические объекты, позволяет обнаруживать их ранее неизвестные характеристики.
На интуитивном уровне, структура на бесконечности метрического пространства (X, с?х) отражает то, как оно выглядит из «бесконечно удаленной точки» . Более математически, но по прежнему нестрого, это можно представить себе следующим образом. Для всякого положительного є рассмотрим метрическое пространство Х£, как множество совпадающее с X, но с расстоянием, равным сіхє = єсіх-Устремим є к нулю, и рассмотрим «предельное пространство» Хо = 1ітє.оХє, где предел метрических пространств понимается в некотором специальном смысле. Поясним это на примере евклидова пространства X = Жп. В этом случае для всякого є > 0 пространство Х£ очевидным образом изометрично X. Поэтому, при є —7- 0 мы имеем «постоянную» последовательность метрических пространств Х£, и

ным.
Бесконечная циклическая группа изоморфна Ъ и поэтому ее асимптотический конус равен М. Следовательно, асимптотический конус группы Г билипшицево эквивалентен прямой. Так как непрерывный образ связного множества связен (см. [1]), билипшицевы отображения вещественных деревьев сохраняют валентность точек. Следовательно, валентность любой точки СопшГ равна двум, откуда следует, что асимптотичский конус Г изометричен Ж.
Докажем теперь утверждение (111). Покажем вначале, что асимптотический конус графа Кэли неэлементарной гиперболической группы имеет точку континуальной валентности. Нам известно, что граница такой группы имеет мощность континуум. Границу можно рассматривать как класс эквивалентности лучей, выходящей из фиксированной точки го. Рассмотрим точку конуса, соотв. последовательности го — (го, го, го