Абелевы многообразия и матричные коммутирующие дифференциальные операторы

• Автор: Миронов, Андрей Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 58 с.

Содержание
0 Введение
1 Коммутативные кольца дифференциальных операторов, связанные с двумерными абелевыми многообразиями
1.1 Модуль Бейкера-Ахиезера
1.2 Доказательство теоремы Накаяшики при д =
1.3 Коммутативное кольцо 2 х 2-матричных дифференциальных операторов
1.4 Гладкие вещественные операторы
1.5 Операторы Накаяшики
2 Нелинейные уравнения, интегрируемые в тэта-функциях не главно поляризованных абелевых многообразий
2.1 Тэта-функции не главно поляризованных абелевых многообразий
2.2 Теорема о разложении тэта-функции Прима
2.3 Приложения
2.3.1 Иерархия СКР
2.3.2 Задача о вращении твердого тела
2.3.3 #21'*"Чепочка Тода
Список литературы

О Введение
В диссертации изучаются двумерные 2 х 2-матричные коммутирующие дифференциальные операторы, указанные Накаяшики [1], а также предложен метод нахождения решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений в терминах тэта-функций не главно поляризованных абелевых многообразий.
В работе [1] Накаяшики построил коммутативные кольца д х д-матричных дифференциальных операторов по д переменным (см. также [2]). Совместные собственные вектор-функции и собственные числа этих операторов параметризуются точками главно поляризованного абелева многообразия размерности д с несингулярным тэта-дивизором. Каждый оператор отвечает некоторой мероморфной функции (спектральной функции) на абелевом многообразии с полюсом на тэта-дивизоре. В дальнейшем эти операторы будем называть операторами Накаяшики.
В главе 1 нами доказана
Теорема А. При д = 2 не существует операторов Накаяшики с гладкими вещественными двояко-периодическими коэффициентами, но существуют операторы Накаяшики с вещественными сингулярными двоякопериодическими коэффициентами.
Эта теорема является аналогом теоремы Фельдмана, Кноррера и Тру-бовитца [3], которые показали, что двумерный оператор Шредингера без магнитного поля с гладким двояко-периодическим вещественным потенциалом может быть конечнозонным только на одном уровне энергии, т.е. блоховские функции (собственные для оператора Шредингера и для операторов сдвига на периоды) могут параметризоваться римановой поверхностью конечного рода только при одном значении энергии. Теорема А означает, что не существует гладких вещественных конечнозонных на любом уровне энергии операторов Накаяшики. Тем не менее существуют вещественные конечнозонные на любом уровне энергии операторы Накаяшики с сингулярными коэффициентами.
Возьмем в качестве абелева многообразия многообразие Якоби римановой поверхности рода 2 с вещественными точками ветвления. В этом случае симметричная матрица периодов Н базисных абелевых дифференциалов имеет чисто мнимые компоненты [4]. Введем операторы магнитных трансляций Ту и Т2*
Т1 <р(у) = т{у + еО ехр(2ти/1), Т£<р{у) = <р{у + е2) ехр(2тгу2),

где у = (г/1,2/2), ез — )-ая строка мнимой части матрицы периодов П. Операторы магнитных трансляций отличаются от операторов сдвига только экспоненциальной подкруткой. Аргументы экспонент в операторах магнитных трансляций выбираются так, чтобы выполнялось равенство Лг{у+е^) — Аг(у) = 27г<5у, где (Ах, А2) — вектор-потенциал магнитного поля [5], тогда Т* коммутируют с операторами ковариантных производных
дУ{ — А,. Операторы Т* и Т2* коммутируют между собой. Это является
следствием того, что в нашем случае магнитный поток через элементарную ячейку, образованную векторами ех и ег, равен 0. В общем случае справедливо равенство Т*Т2* = Т%Т{ ехр(геФ), где е — заряд, Ф — магнитный поток [5] и операторы Т{ и Т2* коммутируют, если величина || целочисленна.
Собственная вектор-функция для матричного дифференциального оператора называется магнитно-блоховской, если ее компоненты являются собственными функциями для операторов магнитных трансляций. Через в (г), где г = (^1,^2), будем для краткости обозначать тэта-функцию 0[0,0](г|П) абелева многообразия С /Т? + Ой2}.
Теорема В. Существуют операторы Накаяшики с гладкими вещественными коэффициентами. По диагонали оператора Н, отвечающего функции д21 1п 9 (г) + З2 1п 9(и), стоят операторы Шредингера вида
Нц — (дУ1 — А1)2 + (дУ2 — А2)2 + и(у),
Н22 = (дУ1 — А1)2 + (дУ2 — А2)2 + и(у)
с двояко-периодическими магнитными полями кЛ(Ах, А2,0) иго1;(А1, А%, 0) и с двояко-периодическими потенциалами и(у) и и(у)
и(у + еу) = и(у), и(у + е]) = й(у).
Компоненты вектор-потенциалов удовлетворяют равенствам
Му + е/) - Му) = Му +е/) - Му) = 2^%-
Магнитно-блоховские функции оператора Н на каждом уровне энергии параметризуются римановыми поверхностями конечного рода. Компоненты оператора Н коммутируют с операторами и Т2 .
Мы также укажем операторы Накаяшики, которые принимают наиболее простой вид. Например, операторы Ь и Ь, отвечающие функциям
1п в (г) и дпд221п в (г), выглядят следующим образом.

У оператора #22 такие же свойства как и у Нц. В частности #22 коммутирует с операторами магнитных трансляций.
Магнитно-блоховские функции оператора Н на уровне энергии А параметризуются римановой поверхностью, заданной в X2 уравнением
8РХ1Ыв{г)+а^Ш{г) = А.
Для завершения доказательства нужно сделать замену координат и учесть, что дХк — операторы комплексного дифференцирования, т.е. дХк — —

Теорема В доказана.
1.5 Операторы Накаяшики
В начале параграфа мы введем две римановых поверхности Гх и Г2 рода 2, вложенные в двумерное абелево многообразие X2. В лемме 14 с помощью формулы Фэя (14) будет доказано, что Г; и Г2 касаются тэта-дивизора. В формулах (17) и (18) мы укажем базис фг,ф2 модуля Бейкера-Ахиезера. Из леммы 14 вытекает, что функции ф и Ф2, ограниченные соответственно на Гх и Г2, являются одноточечными функциями Бейкера-Ахиезера [8]. В лемме 16 будут найдены некоторые коэффициенты 11-компонент и 12-компонент операторов второго порядка. В лемме 17 указана связь между 11-компонентами и 12-компонентами и между 21-компонеятами и 22-компонентами операторов. В лемме 18 мы найдем некоторые коэффициенты оператора Ь. Лемма 1 вытекает из лемм 16,17 и 18. В лемме 19 мы докажем, что коэффициенты 11-компонент операторов Накаяшики рационально выражаются через функцию V и ее производные. Теорема С вытекает из лемм 20 и 21, где доказано, что коэффициенты операторов второго и третьего порядка рационально выражаются через функции V и ]¥ и их производные.
Абелево многообразие X2 является многообразием Якоби некоторой римановой поверхности Г рода 2. На Г существует канонический базис циклов ах, аг,61 и &2 с индексами пересечений
а, о а; — Ьк о 1}у — 0, <ц о Ьу —
и базис абелевых дифференциалов и ш2 такой, что компоненты матрицы П равны Пу = и /а.щ = <5у,г,у = 1,2. Для точек Д,(2 £ Г