Полунормальные функторы в категории СОМР и обобщенная теорема Катетова

• Автор: Кашуба, Елена Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Петрозаводск
• Количество страниц: 46 с.

Содержание
Введение
1 Предварительные сведения
2 Обобщенная теорема Катетова для
полунормальных функторов
3 Обобщение примера Грюнхаге для
полунормальных функторов
Список литературы

Введение
В 1948 году М. Катетов [1] доказал, что из наследственной нормальности куба компакта следует его метризуемость. Вопросу обобщения теоремы Катетова о кубе посвящены многие работы в области общей топологии. Количество публикаций, связанных с данной темой, продолжает увеличиваться и в настоящее время.
В 1971 году Ф. Зенор [2] доказал, что если куб компакта X наследственно счетно паракомпактен, то X метриуем. Операция возведения в куб компакта X является нормальным функтором1 степени 3, поэтому следующая теорема
В. В. Федорчука [3] 1989 года является обобщением теоремы Катетова о кубе: если для какого-нибудь нормального функтора Т степени > 3 компакт Х(Х) наследственно нормален, то X — метризусмый компакт. В 2000 году Т. Ф. Жураев [4] заметил, что требование наследственной нормальности Х(Х) в теореме Федорчука можно ослабить до требования наследственной нормальности Х(Х)Х и по аналогии с теоремой Зенора заменил в теореме Федорчука наследственную нормальность пространства Х(Х)Х на наследственную счетную паракомпактность Х(Х)Х. А. П. Комбаров [5] в 2004 году доказал следующую теорему: если для какого-нибудь нормального функтора X степени > 3 пространство (А)А наследственно /С-нормально, где К — класс о-компактных пространств, то X — метризуемый компакт. Из теоремы Комба-рова следуют одновременно и теорема Федорчука, и теорема Жураева. Для функтора суперрасширепия Л (А является полунормальным функтором) имеется следующий результат Т. Ф. Жураева [6] 1999 года: если пространство АДХДХ наследственно нормально, то компакт X — метризуем. Индекс 4 — третий по величине элемент степенного спектра функтора А. Степенной спектр в'р(Х) функтора X — это множество степеней точек пространств вида Х[Х). А. В. Иванов в работе [7] доказал, что если X — полунормальный
1Все необходимые определения приведены в главе 1.

функтор, удовлетворяющий некоторому комбинаторному условию (*), и sp(J~) = {1, к, п, то наследственная нормальность У„(Х) X влечет метризуемость X (здесь п — третий по величине элемент зр(У)). Условию (*) удовлетворяют такие известные в общей топологии функторы, как функтор экспоненты ехр, функтор суперрасширения Л, функтор вероятностных мер Р и все их конечные композиции [7, 8].
В работе 1948 года [1] М. Катетов также поставил проблему о метризуемости компакта, квадрат которого наследственно нормален. Контрпример в предположении МА+->СН был построен в 1977 году Никошем [9]. В 1993 году Грюнхаге [10] в предположении континуум-гипотезы СН построил пример неметризуемого компакта Y, для которого У2 наследственно сепарабельно, У2Д совершенно нормально и Y2 наследственно нормально. В 2002 году Ларсон и Тодорчевич [11] форсингом построили модель теории множеств, в которой справедлив положительный ответ на проблему Катетова, и тем самым доказали независимость проблемы Катетова от системы аксиом ZFC. Для полунормальных фунторов проблема Катетова имеет следующий аналог: верно ли, что из наследственной нормальности УЦХ), где к — второй по величине элемент степенного спектра полунормального функтора У, следует метризуемость XI Заметим, что Т. Ф. Жураевым в работе [6] было объявлено о "наивном" положительном решении этого вопроса для функтора суперрасширения Л.
Целью данной работы является изучение вопросов, связанных с обобщением теоремы и проблемы Катетова для полунормальных функторов.
В первой главе приведены сведения, необходимые для изложения основных результатов. Кроме того, рассматривается вопрос о строении носителей точек пространств вида У (Я”) для некоторых полунормальных функторов У, в частности, для случая У = Л. Для максимальных сцепленных систем носитель совпадает с замыканием объединения всех минимальных по включению

однозначно на Б. Пусть С — счетное всюду плотное множество в р$Б, Е' = (Ро)~1С П Б и а < ш таково, что {рг)~1 {рЕ') — Е'. Поскольку Б лежит в общем положении в Хп, множество Е — р™Е’ ап-допустимо. Следовательно, Е имеет некоторый номер /3 в нумерации ап-допустимых множеств: Е — Ер. В силу Р)
КйГ'я] = ЩТЧиАТТ'-Щ- (И
Докажем, что для почти всех (то есть для всех, за исключением, быть может, счетного множества) точек х 6 РрБ имеет место равенство
М = ((РЙ’Г'ЬЙ”*. (2)
В самом деле, если для некоторой точки х Е РрБ (2) не выполнено, то хотя бы одна координата точки (р$)пх принадлежит Ьр. Следовательно, у точки х' Е Б, для которой рх' = х, хотя бы одна координата принадлежит р1Ьр. Но последнее множество счетно. Так как Б находится в Хп в общем положении, любая точка из рЬр может быть координатой не более, чем одной точки из Б. Значит, множество точек х, для которых не выполняется условие (2), не более чем счетно.
Поскольку (С всюду плотно в р™Б и (р)пЕ = (7, все точки х Е РрБ М)"Г1Е для которых выполняется равенство (2), будут предельными точками {(рР)п)~1Е. И тогда в силу (1) "накрывающие" их точки х' Е Б будут предельными для Е' — противоречие с дискретностью Б.
Теперь по индукции докажем, что в Хп нет несчетных дискретных подмножеств.
п = 1. В этом случае любое подмножество X находится в общем положении. Как было показано выше, это подмножество не может быть дискретным.
Предположим, что наше утверждение доказано при к < п и пусть Б — несчетное дискретное подмножество Хп. Обобщенная диагональ Ап С Хп является объединением конечного числа подпространств, гомеоморфных