Топологии Гротендика и пучки на упорядоченных множествах

• Автор: Скурихин, Евгений Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 342 с.

Глава I. САЙТЫ И ПОЛНЫЕ БРАУЭРОВЫ РЕШЕТКИ

§1. Предпучки и т-замыкания

§2. Функторы, индуцирующие эквивалентности категорий пучков и (К,т)-пространства

§3. Локальная конечность и представимые семейства

§4. Нормальные (К,т)-пространства и пространства Майкла

§5. Нормально вложенные элементы и нормально расположенные семейства

Глава II. ПУЧКОВЫЕ КОГОМОЛОГИИ (К,Т)-ПРОСТРАНСТВ

§1 . Когомологии и локализация

§2. Теоремы сравнения и обращения в нуль

§3. Бипучки и суммирование локально конечных семейств

Глава III. КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ (К,Т)-ПРОСТРАНСТВ

§1 . Вялые и мягкие пучки
§2. Когомологическая размерность пространств Майкла
Глава IV. КОГОМОЛОГИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ И РАВНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
§1. Когомологии и размерность ^-полурешеток §2. Когомологии и размерность топологических пространств
§3. Когомологии и размерность равномерных пространств ЛИТЕРАТУРА

Основные объекты исследования данной работы - категорные аналоги и обобщения понятия топологического пространства, названные нами (К, Т)-пространствами, являются предпучками множеств на категории К. Топология Гротендика % задает на них различные структуры, отражающие специфику изучаемой ситуации. Особое внимание уделяется пространствам Майкла, то есть (К,т)-пространствам, удовлетворяющим условиям типа паракомпактности.
Анализируются структуры подпространств (К.т)-пространства, группы когомологий с коэффициентами в пучке, когомологические размерности, определяются группы гомологий. На основе общего категорного понятия вялости [44] вводятся и изучаются классы вялых и мягких пучков, а также вялая и мягкая размерности (К,т)-пространств. Основные результаты относятся к случаю, когда категория К является квазиупорядоченным множеством, то есть малой категорией, множество морфизмов между любыми двумя объектами которой не более, чем одноэлементно.
Частными случаями групп когомологий (К.т)-пространств являются производные функторы обратного предела спектров абелевых групп. Как известно [80], важным для их изучения понятием является понятие вялого спектра, определяемое по аналогии с вялыми пучками на топологических пространствах. Сами же производные функторы обратного предела не только служат аппаратом, используемым в алгебраической топологии и гомологической алгебре, но и являются объектами исследования в рамках теории размерности малых категорий и частично упорядоченных множеств [67].
Каждому топологическому или равномерному пространству можно многими способами сопоставить (К,Т)-пространство. Мы делаем это
таким образом, что получаемые (К,т:)-пространства являются пространствами Майкла, то есть в некотором смысле паракомпактными. Применяя общие результаты о (К.т)-пространствах, мы получаем теоремы о когомологиях и когомологических размерностях топологических и равномерных пространств, размерности Бредона, о непрерывных и равномерно непрерывных отображениях. Важной характеристикой (К,т)-пространства является тот факт, что некоторое множество его подпространств образует полную брауэрову решетку, в другой терминологии - фрейм.
Таким образом, представляемое исследование лежит на стыке общей теории пучков и пучковых когомологий на сайтах, когомологической теории вялой и мягкой размерностей, теории производных функторов обратного предела, когомологической теории частично упорядоченных множеств, теории когомологий и теории размерности топологических и равномерных пространств. Каждая из этих областей активно развивается.
Основное из связанных с топологией направлений в теории фреймов основано на том, что фреймом является множество открытых подмножеств топологического пространства. Поэтому понятия и результаты общей топологии, при получении которых можно ограничиться рассуждениями с открытыми множествами, переносятся на фреймы, как, например, в работах [52], [53], [57], [62], [78], [79],
[90].
Когомологии и гомологии частично упорядоченных множеств развиваются как из внутренних потребностей теории, так и в целях обобщения имеющихся топологических результатов, а также самых разных приложений [10], [16], [47], [63], [71], [74], [55], [76], [92], [95], [96]. Особое направление составляет теория гомологической размерности малых категорий и частично упорядоченных мноЬ).Если к€ОЬ(К) - инициальный объект К, то Б00 «■ Б(к)^0.
С).Если кеОЬ(К) - инициальный объект К и 0£1(к), то У1сОЬ(К), 0£%(1).
б.) .Если Т - субканоническая топология Гротендика и 0€Т(к), то к - инициальный объект К. Таким образом, если К - квазиупоря-доченное множество, то к - нуль К.
2).Пусть К - квазиупорядоченное множество.
a).Пусть 0 - нуль К, Б<еОЬ(К). Если 0^Т(О), то [01х=0. Если 06Т(О), БеК^ и Б/0, то [0]х=,/х(О). Таким образом, нулем решетки Кр ^ в первом случае является 0, а во втором
b).Если БС1Ц , В/0 и Ос=[0]^ - нуль решетки Кв х, то (к) =0^, о 0£Т(к).
Доказательство. 1)а).(а)=»(с)). Если всБСк), то УГ£0, а1€0ОоГ), то есть 3£[0]°(к).
(с)=»(Ь) тривиально.
(Ь)=»(а).Пусть ве[0]°(к). Тогда 311€т;(&) 81€0(до1) УГ€И. Поэтому 11=0.
Ь).Если Б(к)=0, 1еОЬ(К), то имеется отображение Б(1)—►Б(к), и значит Б(1)=0.
С).Если 0£Т(1) и 1:к—»1 - морфизм, то 0=Г~1 (0)€Т(к).
(1).У1€0Ь(К), Ношк(к,1)=Пою£(гК(к),гК(1))=Нот£(0,{К(1)), так что Нотк(к,1) - одноэлементно.
2)Ь).(=>).Если ^(к)=0в, то [0]х(к)^0 и по 1)а), 0€Т(к).
(<=).Если 0£Т(к), то по 1)а), [01х(к)?^0, так что по нижеследующей лемме 1.4.6, ,/х(кК[0]®, откуда ,/х(к) = [0]х.
а).Если 0£т(О), то по 1)а), [0]х(О)=0, и по 1)Ь), [01х=0. Если 06Т (0), то по Ь), ^(О) = [0]х.
Все сотношения нижеследующей леммы легко проверяются с помощью утверждения 1 .3.2.