Свойства топологических пространств типа связности и метризуемости и селекции многозначных отображений

• Автор: Дроздовский, Станислав Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 56 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Пример периферически счетного локально связного
континуума, не являющегося линейно связным
1.1. Описание конструкции
1.2. Доказательство
Глава 2. Топологическая структура на множестве непрерывных
функций с различными областями определения
2.1. Пространство Р(П)
2.2. Обобщенная метризуемость
2.3. Свойства типа метризуемости пространства Е([/)
2.4. Пространство Р*([7)
Глава 3. О продолжении полунепрерывных сверху и близких к ним селекций полунепрерывных снизу многозначных отображений
3.1. Обобщенный метод покрытий
3.2. Селекционные теоремы
3.3. Результаты, связанные с измеримостью многозначных отображений
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Первая глава диссертации посвящена классификации локально связных континуумов по свойствам родственным связности.
Метрические сепарабельные локально связные континуумы в настоящий момент достаточно хорошо исследованы. Соответствующая теория изложена в монографиях Дж.Уайберна [38] и К.Куратовского [6].
Локально связные континуумы в общем случае, который и рассматривается в настоящей работе, имеют гораздо более тонкие и разнообразные свойства и являются предметом интенсивного изучения. Общий обзор теории локально связных континуумов дан в статье Дж.Нике-ла, Х.М.Тункали и Е.Д.Тимчатина [32].
Напомним, что разреженным называется такое топологическое пространство, каждое непустое подмножество которого содержит изолированную в себе точку.
Топологическое пространство называется периферически конечным (соответственно периферически счетным, периферически разреженным или периферически метризуемым), если его топология имеет базу, граница каждого элемента которой конечна (соответственно счетна, разрежена или метризуема).
Класс 1 всех локально связных континуумов подразделяется на следующие основные подклассы:
М — метризуемые локально связные континуумы;
М! — периферически метризуемые локально связные континуумы;
М'ъ — локально связные континуумы, обладающие базой открытых множеств, каждый элемент которой имеет метризуемую нульмерную границу;

Т — периферически конечные локально связные континуумы;
V, — периферически счетные локально связные континуумы (рациональные континуумы);
J — периферически разреженные локально связные континуумы;
V — дендриты (локально связный континуум X называется дендритом, если для любых двух точек х, у £ X, х ф у, существует точка 2 £ X, такая, что ж и у принадлежат различным компонентам связности множества X г);
С — непрерывные образы упорядоченных континуумов;
У — конечно-суслинские континуумы (континуум X называется конечно-суслинским, если для любого семейства В попарно дизъюнкт- ' ных невырожденных подконтинуумов и любого открытого покрытия и континуума X семейство элементов В £ В, не являющихся подмножествами ни одного элемента и £ Ы, конечно);
У — наследственно локально связные континуумы (континуум является наследственно локально связным, если любой его подконтинуум локально связен);
А — линейно упорядоченные континуумы;
А' — линейно связные локально связные континуумы (континуум X линейно связен, если для любых двух точек X, у € X, X Ф у, существует упорядоченный континуум У, такой, что х,у е У С X).
Имеют место следующие соотношения:
А ——> Т —> у —>п—>п —> X

СпП = С<и,Пти, тг <£ с, К<£А'

D{fyx) = cj{y)xcB{x), fyx{s,v) = h(s,v)+H{ys,{uoo})+H(xv, {u«}).
В случае x € Cf(U), у £ C~(U), величина S(x,y) получается из вышеуказанной заменой символов ” +” на ” —”.
Для ж, у £ Cf(U),
D{fxy) = c5(x)xcs(y), fxy{v,s) = h{v,s) + H{xv,{u00}) + H{ys,{u00}).
Соответствие S топологии пространства F(U) следует из тех же соображений, которые приводились для о-метрики, сконструированной при доказательстве теоремы 2.3.1. Разница лишь в том, что здесь существенную роль играет тот факт, что для фиксированного х 6 F(U) Cs (U) и переменного v € cs (ж), v —У х влечет за собой H(xv, {uqo }) —> О и наоборот.
Докажем, что о-метрика 5 удовлетворяет условиям леммы 2.2.3. Пусть ж,у 6 F(U), {zi
€ Cs(*l), £ Cs(zn).
n(n—1) n(n —1)-
Пусть построены компакты n;n(n_i),гг(п_1)п
4wi{i+i)’w(i+i)i) < Допустим, что i > 1. Так как
diam(zi i)) <1 2H(zi ri(t—i), {фоо}) 35(2j_x, яД
(последнее неравенство следует из (1)), очевидно найдется такой компакт гщх) С vi(<_x), что ((»-»гпгр+х)) < 3£(_1, гД.
Из полученных неравенств и определения (5
(,2„) < /г(ш12,Щ„(п_1)) +H(ziw12, {ыоо}) + H(znwn(n-1), {«оо}) <