Многозначные формальные группы

• Автор: Холодов, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 82 c. : ил

Глава I. Формальные коалгебры. Кольца инвариантных
операторов формальных коалгебр
§ I. Элементы теории формальных коалгебр. Инвариантные
операторы формальных коалгебр
§ 2. Генераторы формальных коалгебр
§ 3. Отмеченные коалгебры
Глава II. Алгебраическая теория многозначных формальных
групп
§ 4. Определение ‘и примеры многозначных формальных групп.
Циклические П -значные формальные группы
§ 5. Кольцо инвариантных операторов п -значной формальной
группы
§ 6. Элементарные И -значные формальные группы. Классификация трехзначных элементарных формальных групп
§ 7. Классификация П- -значных элементарных формальных
групп для^/1^
§ 8. Классификация трехзначных формальных групп относительно сильного изоморфизма
Глава III. Топологические приложения теории П -значных
формальных групп
§ 9. Топологическая интерпретация /2. -значной циклической
формальной группы
§10. Л* -значная формальная группа в кобордизмах
§ II. Кольцо коэффициентов трехзначной формальной группы в
кобордизмах
Литература

Пусть Я - коммутативное кольцо с единицей, Ш*]]. Ш*,$1 - кольца формальных рядов от независимых переменных. Одномерной формальной группой над кольцом Я называется формальный ряд
/Гт,у)б Я[[х,дЗ]
такой, что
/(Х>0)/(0,у) = У , /{/I) = /(х> /#-
Если, кроме того, £(х>у) = $(<}> х) , то формальная группа называется коммутативной. Аналогично определяется т -мерная формальная группа.
Для любой алгебры Хопфа ($[1Х1],Д) (умножение в которой есть обычное умножение формальных рядов), формальный ряд £(х,у)~ кос. является формальной группой. Обратно, любая формальная группа может быть так получена.
По любой пи -мерной локальной группе Ли /г можно построить т -мерную формальную группу следующим образом. Пусть £ £ VС Ог , е - единица группы Я , а У - координатная окрестность, причем е имеет координаты С■" , о).
Пусть Х,д £ V имеют координаты (зс^ ),
соответственно. Если Х,у достаточно близки к единице е , то произведение 2 = ху принадлежит V . Пусть имеет координаты (И±>} 2^) . Так как & - локальная группа Ли, то
координаты , 2т) можно в окрестности 1/ разложить в ряды
?-± (%! , } ^п, ), Iх*,... , 2/г, , $4
Легко проверяется, что эти ряды задают пъ -мерную формальную группу.

Примером одномерной коммутативной формальной группы над произвольным кольцом И является формальный ряд
где CL - любой элемент кольца Я
Другой, важный для алгебраической топологии, пример одномерной коммутативной формальной группы принадлежит A.C. Мищенко и
С.П. Новикову Г 15 1 . Пусть (') - произвольная мультипликативная экстраординарная теория когомологий, в которой существуют характеристические классы Чженя О комплексных векторных
расслоений. Формальная группа в теории П-) возникает из ряда
+^
выражающего первый класс Чженя тензорного произведения одномерных универсальных комплексных расслоений над пространством СР(°°) через первые классы Чженя сомножителей.
Формальные группы впервые ввел Бохнер [Z31 . Он перенес теорию Ли о связи групп и алгебр Ли на формальные группы над произвольными полями характеристики нуль. В начале 50-х годов началось интенсивное изучение формальных групп над полями характеристики р>о . Оказалось, что формальные группы над полями ненулевой характеристики не определяются своими алгебрами Ли. Дьедон-не Г 93 определил £ипералгебры Ли и показал, что формальная группа однозначно восстанавливается по своей гипералгебре Ли.
Большой вклад в изучение формальных групп внес Лазар £ 2^Г] . Он доказал, что над Q_ -алгебрами ( Q - поле рациональных чисел) любая одномерная формальная группа имеет вид

Из леммы 5.1 следует, что кратность Л. -э.ф.г. удовлетворяет неравенству 1 £ к £ П.
Лемма 6.3. Кратность циклической и -ф.г. равна единице. Доказательство сразу получается из следствия 4.3*1.
Докажем важный результат.
Теорема 6.4. Пусть И -э.ф.г. имеет ранг м кратность 4 . Тогда /7-пь и э.ф.г. является циклической
п. -ф.г
Доказательство. По формуле (2.11)
&ь?(х} ^т($-£)
Из леммы 5.10 получим, что при
(6.5)
Поэтому при
Из формул (2.9), (6.5), учитывая, что о[± = £ получим

Л е! /?7
Сумма 21. С-т равна нулю ц
а & ^оопределению ранга п. -ф.г.. Поэтому