Полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия

• Автор: Мещеряков, Евгений Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 115 с.

Оглавление
Введение

1 Предварительные сведения
1.1 Полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия
1.2 Левосимметричные алгебры
2 Геометрия
2.1 Основная конструкция
2.2 Характеристическая кривая
2.3 Классификация с точностью до почти причинной изометричности
2.4 Классификация маломерных многообразий
2.5 Накрытия и вложения
3 Причинные структуры и порядок
3.1 Предварительные сведения
3.2 Четырехмерный случай
3.3 Случай произвольной размерности
4 Аффинные просто транзитивные действия на пространствах Мин-ковского
4.1 Просто транзитивные унипотентные действия на пространствах Мин-
ковского
4.2 Нильпотентные левосимметричные -алгебры как алгебры Ли
4.3 Полные плоские строго причинные унипотентные лоренцевы многообразия вида О/Г
Литература

Введение
Полные плоские лоренцевы многообразия могут быть определены в терминах дифференциальной геометрии как геодезически полные лоренцевы многообразия с пулевыми кривизной и кручением. Они характеризуются тем, что имеют атлас, в котором отображения перехода принадлежат группе Пуанкаре 'Рп. Полнота означает, что любое аффинное отображение отрезка I в М, где I С К, продолжается до аффинного отображения Ж —* М. Другими словами, это полные аффинные многообразия с согласованной лоренцевой метрикой. Все многообразия этого класса могут быть реализованы в виде М — Мп/Г, где Мп — п-мерное пространство-время Минковского и Г — дискретная подгруппа группы Пуанкаре Тп (группа аффинных автоморфизмов Мп), действующая свободно и собственно разрывно. В этом случае Г = тгДМ). Фиксируя начало координат о, можно отождествить Мп с набором (УД), где У — вещественное векторное пространство, £ — лоренцева форма сигнатуры (+
В статье [15] были описаны, с точностью до конечных накрытий, полные плоские причинные лоренцевы многообразия, удовлетворяющие следующему условию: прошлое и будущее любой точки р € М замкнуто в некоторой окрестности этой точки. Следуя [15], будем называть такие многообразия строго причинными. Точнее, в [15] была дана конструкция группы Г, позволяющая построить все такие многообразия с точностью до конечных накрытий. В частности, было показано, что У допускает разложение У = То Ф У такое, что Г действует на То линейными ортогональными преобразованиями, £ отрицательно определена на То, а Ух/Г — полное плоское строго причинное лоренцево многообразие. При этом Г содержит подгруппу конечного индекса, изоморфную а ортогональное представление Г в То можно выбирать произвольно. Таким образом, задача сводится к случаю То = 0, что и предполагается в дальнейшем.

Как показано в настоящей работе, случай Уо — 0, с точностью до конечных накрытий, характеризуется свойством унипотентности группы голономии М (теорема 2.1). При этом упомянутое выше действие группы Г можно построить, зная лишь группу голономии. Условимся для краткости называть полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия с унипотентной группой голономии унипотентпыми. В дальнейшем по умолчанию предполагается, что М унипотентно.
Унипотентному многообразию сопоставляется набор четырех неотрицательных целых чисел (сигнатура) и кривая (парабола, которая может вырождаться в луч или точку), расположенная в конусе неотрицательных матриц. Показано, что многообразие можно задать этим набором (парабола рассматривается с точностью до некоторых преобразований конуса). Описаны накрытия и вложения унипотентных многообразий. Исследуется причинная структура на них, т.е. прошлое и будущее точек многообразия. Охарактеризованы унипотентные многообразия, допускающие реализацию в виде Н/Г, где Н — группа Ли, действующая просто транзитивно на пространстве Минковского. Для этого описаны просто транзитивные действия нильпотентных групп Ли на пространствах Минковского.
Рассматриваемый класс многообразий лежит в пересечении двух довольно хорошо изученных областей геометрии: полных аффинных многообразий (см. обзоры [4] и [12]) и структур причинности в лоренцевых многообразиях; главным стимулом к изучению последних является общая теория относительности (см. например [9, 13]). К их общей части относятся некоторые работы хропогеометрической школы А.Д. Александрова (ссылки можно найти в [19]), а также статьи [8, 14, 15].
Полные аффинные многообразия изучались в 60-х годах в связи с вопросом Ауслендера: верно ли, что фундаментальная группа полного компактного плоского аффинного многообразия является виртуально разрешимой? В общем случае вопрос остался без ответа, но при некоторых условиях на многообразия ответ положительный (см. [4, 12])

Будем называть характеристическим полиномом М и обозначать через См, считая определенным с точностью до аффинной замены переменной я. Будем говорить, что многообразия М — У/Г и М = V/Г почти изометричны, если М/Г и М/Г изометричны. Положим
п = сИтМ, т = <±ипТ, г = с!ппД, (2.19)
к = сНткега.
Набор (п, т, г, к) будем называть сигнатурой М. Из предложения 2.2 следует, что сигнатура не зависит от реализации М в форме (2.1)-(2.4). Очевидно, эти числа удовлетворяют неравенствам
ш + г + 2 < п, г + к < т.
Замечание 2.3. Пусть п = т|г I 2 +р, где р > 0. Тогда имеет место разложение У = Ух ® Уг, где гц = Ш&о ф Кгц ® (Т + аТ) и !/> = Кр. Данное разложение эквивалентно расщеплению действия Г на унипо-тентное и ограниченное линейное (см. теорему 1.1 ([15, теорема 1])). Следовательно, многообразие У/Г есть прямое произведение многообразия Ух/Г и евклидова пространства Уч. Благодаря последнему мы можем считать, что унипотентное многообразие имеет сигнатуру (п,т,г,к), причем п = т + г + 2.
Теорема 2.2. Многообразия М и М, удовлетворяющие условиям теоремы 2.1, причинно изометричны тогда и только тогда, когда их сигнатуры совпадают и
Ям(в) — ХТ(/}м(а.з + р)Х (2.20)
для некоторых X е ОБ(т, Ж), а > 0, /3 € М.
Доказательство. Утверждение о сигнатуре очевидно. Левая часть (2.12) представляет собой квадрат длины единственного отрезка прямой линии, реализующего петлю х € 7Г(М,р). Поэтому изометрия отождествляет ди как функции на 7Гх(М,р), 7Гх(М,р). Согласно (2.13) и (2.16),