Симметрии геодезического потока на гладких многообразиях с аффинной связностью

• Автор: Кальницкий, Вячеслав Степанович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 72 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Автоморфизмы геодезического векторного поля
§1. Группа симметрий геодезического векторного поля . 16 §2. Пространство симметричных псевдотензорных полей
Глава II. Алгебра обобщенных полей Якоби
§1. Полилинейные поля на касательном расслоении ... 30 §2. Пространство решений полной симметричной системы 36 §3. Алгебра полей Якоби на однородном многообразии
Глава III. Полнота обобщенных полей Якоби
Приложение А
Приложение Б
Литература
Работы автора
Введение
Диссертация относится к активно развивающемуся направлению, связанному с изучением бесконечномерных пространств, возникающих в дифференциальной геометрии. Примерами таких пространств служат группы диффеоморфизмов гладких многообразий, пространство векторных полей, тензорных полей и связностей на гладком многообразии.
Создатели теории Ли рассматривали группу Ли как группу симметрий алгебраического или геометрического объекта; соответствующая алгебра Ли рассматривалась как множество инфините-зимальных преобразований. Поскольку группа симметрий такого объекта не обязательно конечномерна, Софус Ли рассматривал не только проблему классификации подгрупп группы 0Ьп, но также проблему классификации бесконечных групп преобразований. В начале 20-го века Э. Картан классифицировал простые бесконечномерные алгебры Ли векторных полей на конечномерном пространстве.
Однако работы Картана были практически забыты до середины шестидесятых годов. Интерес к этой области начал возрождаться с работ Гийемина и Стернберга, которые развили соответствующий алгебраический язык и технику фильтрованных и градуированных алгебр Ли. Им удалось доказать классификационную теорему Картана аналитически, а позже Вейсфейлер привел ее алгебраическое доказательство.
В настоящее время нет общей теории бесконечных групп и ал-

гебр Ли и их представлений. Имеется некоторый набор классов бесконечномерных групп и алгебр, которые подвергались более или менее интенсивному исследованию. Прежде всего это алгебры Ли векторных полей и соответствующие группы диффеоморфизмов многообразия.
Рассмотрим, например, группу Б{М) всех диффеоморфизмов гладкого многообразия М. Пространство инфинитезимальных автоморфизмов— это пространство всех гладких векторных полей Х(М). Если М не компактно, то о О(М) и Х(М) практически ничего не известно (см. [1]). Одна из трудностей в наделении £>(М) структурой бесконечномерной группы Ли (в каком-либо смысле) заключается в отсутствии соответствующей алгебры Ли. Так как векторные поля не полны, то Х(М) слишком обширна для того, чтобы быть алгеброй Ли группы В(М). С другой стороны, подмножество в Х(М), состоящее из полных полей, не является даже линейным подпространством в Х(М). Пале [2] привел пример двух полных векторных полей, сумма которых не является полным векторным полем.
Не все геометрические структуры, выражаясь словами Кобая-си, созданы равными в смысле строения ее группы автоморфизмов. Однако обширность объектов не умаляет их значимости. Так в 1966 году В. И. Арнольд ввел в рассмотрение группу гладких диффеоморфизмов многообразия, сохраняющих элемент объема, и показал, что геодезические на этой группе представляют собой потоки идеальной несжимаемой жидкости. Эта работа в значительной ме-

Доказательство. Подставив в (2.7) поля Уд и 5, получаем [(А,УА-и(А)),(£,-и>)]
= (А + £(УА - ш(А)) - - кА(-ш),
-%-л - °<2лШ.е - ы*а-ш(а))-
ОХ ОХ
-(к + 1)(УД - ЦА))(-ш) ) = (VА - ш(А) - + М(ш),
- «(У Л) + (к + 1)(УА)(ш)| - и(УА) + 2ш(и(А))+
-& + ¥-(Н«В(Л))С“))
= (о, -У(УА) - и (~ + ш(А) - *А(ы))
-А + + 2ш(ш(А)) - (к + 1)(ЦА)Хи))
( 4Ч ,
= (о,—У(УА) + шИА))-— А +
"" () + №АИ ~{к + 1)(“())(“)])
(преобразуем выражение в квадратных скобках по формуле (1.17))
= (о, -У(УЛ) - (~А - + и(Л,и) — ЦЦА)) + ы () ) )
(согласно (1.21))
= (0, -У(УА) - Д(А)). (2.9)
Из формул перехода (2.1) следует, что для любого тензорного поля А выражение У(УА) + Д(А) является тензорным полем. Тензорное