Геометрия интегрируемых случаев динамики твердого тела

• Автор: Коровина, Наталья Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 130 с. : ил.

0.1. Постановка задачи 0.2. Структура текста

1. Предварительные сведения

1.1. Базовые определения

1.2. Ограничения на систему

1.3. Пример (каноническая особенность)

1.4. Общий случай

1.5. Редукция на сечение изоэнергетической поверхности

1.6. Инварианты траекторной эквивалентности для систем на изоэнергетических инвариантных 3-поверхностях

1.6.а. Функция вращения

1.6.6. Л-инвариант 1.6.8. Д и ^-инварианты

1.7. Инварианты в случае произвольной инвариантной 3-поверхности, общая ситуация

1.8. Полнота набора р, А, А, Z для систем на инвариантных 3-поверхностях
1.9. Изготовление траекторных инвариантов для 4-окрестностей
2.О редукции
2.1. Редукция — общий случай
2.2. Редукция Марсдена-Вайнстайна 2.2. а. Конструкция
3. Особенность типа седло-центр
3.1. Построение модели особенности типа седло-центр
3.2. Редуцированная система
3.3. Спроектированная система
3.4. Три системы на двумерных площадках
3.5. Неоднозначность выбора кривой у при построении инвариантов 4-окрестности
3.5.а. Доказательство теоремы 3.5
3.6. Поведение функции вращения в окрестности особой точки типа седло-центр

3.7. Критерий траекторной эквивалентности и полный траекторный инвариант
3.8. Каноническая особенность типа седло-центр. Поведение инвариантов и упрощение критерия траекторной эквивалентности
3.9. Теорема реализации 3.9.0. Пример неканонической особенности.
3.9.6 Реализация
4. Эллиптический случай.
5. Топологическая траекторная эквивалентность двух интегрируемых систем с двумя степенями свободы на больших уровнях энергии
5.1. Случаи Эйлера и Лагранжа в механике твердого тела
5.1.а. Слоения Лиувилля
5.2. Функция вращения задачи Лагранжа
5.3. Свойства функций вращения геодезических потоков
5.4. Основная теорема
5.5. Окончательные результаты
Список литературы

0.1. Постановка задачи
Рассмотрим интегрируемую гамильтонову систему (ИГС) V = sgradЯ с двумя степенями свободы, заданную на некотором гладком четырехмерном симплектическом многообразии (М4,ш). Пусть эта система вполне интегрируема по Лиувиллю при помощи дополнительного интеграла Я. Это означает, что функции Я и Я коммутируют относительно скобки Пуассона, определяемой симплектической формой и), и являются функционально независимыми (другими словами, векторы sgrad Я и sgrad Я почти всюду на Л/4 линейно независимы).
Определение 0.1.1. Разбиение М4 в связные компоненты совместных поверхностей уровня функций Я и Я называется лиувиллевым слоением.
Теорема Лиувилля описывает поведение системы в окрестности регулярного компактного слоя слоения Лиувилля. А именно, каждый такой слой диффеоморфен двумерному тору. Слоение Лиувилля в малой окрестности такого тора тривиально, и на каждом торе поток V задает условно-периодическое движение.
Определение 0.1.2. Эти торы называются торами Лиувилля, или лиувиллевыми торами.
На многообразии М4 имеется пуассоново действие группы Е2, определяемое как действие, порожденное сдвигами вдоль интегральных траекторий векторных полей sgradЯ, sgradЯ.
Определение 0.1.3. Точка х 6 М4 называется особой, если векторы sgrad II(х), ^габ Р(х) линейно зависимы. Соответствующая орбита пуассонова действия О = 0(х), проходящая через точку х, также называется особой. Рангом орбиты 0(х) называется ранг матрицы, составленной из координат векторов .^габ Я(:г), к£габ Я(.т).
Можно показать, что ранг этой матрицы не зависит от выбора точки х орбиты О и совпадает с размерностью орбиты, поэтому определение корректно.
Рассмотрим орбиту х нулевого ранга, т. е. неподвижную особую точку пуассонова действия. Тогда определено действие М2 на касательном пространстве ТХМА, сохраняющее форму ю. Следовательно, оно индуцирует (абелеву) подгруппу симплектических преобразований в группе 5р(4,Е) симплектических преобразований касательного
для некоторой гладкой функции Є. В частности, = А, С2 = В (3.1.9).
Пусть
Н(з,з2) = Н(з,С(з,/2)) = Н(з,/2),
НрЫ = Нр(С(8,/3)) = ПрШ,
тогда
дН__дИ дНдС да де д$і да ’
№=дН(Ю
д/2 да2 8Ь ’
<тР _ сШрдо
(і/2 (1а2 д/2 ’
и из теоремы 2.1.7 следует, что
<тР йПр Щ- , ЩС'2
Ж = Ж°*"2'§°г - я;с; -ніаі’ (32'3)
откуда получим, что система (3.2.1) на каждом из кусков А/4, соответствующих кольцам атома V, эквивалентна
2тг Н'С'2 дЬ Х со Н[С’2 - ЩС{ ду ’
. 2тг Я'С'2 8/2 1 '
У ~ и Н[С’2 - ЩЄі Эх '
3.3. Спроектированная система
Рассмотрим также проекцию потока (3.1.7) на площадку Р2{з). Такая проекция
определена корректно, т.к. скорость по ір не зависит от <р, см. следствие 3.1.5. Используя
(3.1.7), получим, что проекция потока (3.1.7) на площадку Р2(в) будет иметь вид
і-Лн
х — 112 о »
“ Э» (3.3.1)
У = -И'Ж
и ОХ
Эту систему будем называть спроектированной.
Замечание 3.3.1. Сравнивая системы (3.2.4) и (3.3.1), видим, что скорости этих систем на каждом из кусков многообразия, соответствующих кольцам атома V, отличаются лишь на множитель:
2пС2
-2-І
где угєіі и УрГО] — скорости соответственно редуцированной и спроектированной систем.
Уге<і — ці(^і _ ц> о,' 1!ртоз > (3.3.2)