Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи

• Автор: Гусев, Никита Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 94 с.

Оглавление
— Введение
1 Кусочно—аффинные отображения и многогранники—следы
1— Введение
1.1 Последовательная примитивизация
1.2 Свойства смятий и контракций
1.2.1 Смятия
1.2.2 Контракции
1.2.3 Связь смятий и контракций
1.3 Разложение РА-отображений
1.3— Введение
1.3.1 Стяжения ребер
1.3.2 Разложение на комплексе
1.3.3 Разложение на смятие и контракцию
1.4 Многогранники—следы
1.4.1 Построение
1.4.2 Деформации
1.4.3 Объем
1.4.4 Объем при деформации
2 Локальная минимальность '
2— Введение
2.1 Многомерный расчет
2.1.1 Расчет расщепления
2.1.2 Степени симплексов
2.2 Двумерный случай в трехмерном пространстве
2.2.1 Предварение
2.2.2 Описание десяти типов сетей на сфере
2.2.3 Деформации с уменьшением объема

Введение
Предисловие
Хорошо известны задачи, при решении которых рассматриваются деформации с изменением топологической структуры объекта, см., например, обзор в [3]. При изучении геометрии “обобщенных поверхностей” и функционалов на них (например, объема) необходимы (по возможности, “геометрически наглядные”) средства задавать и деформировать эти “поверхности”. Также у этих сложных “поверхностей” следует изучать внутренние соотношения и задачи поиска и построения.
В частности, деформации, при которых меняется топологическая структура объекта, играют важную роль и в многомерных геометрических вариационных задачах, таких как проблема Плато и ее аналоги. В теории экстремальных сетей (одномерная проблема Плато) появилось понятие расщепления вершин при деформации, а также (как естественное средство моделирования их) — понятие сети—следа как класса специальных параметризаций сети, см., например, [4]. Приняв во внимание давнюю практику приближать и характеризовать сложные отображения и пространства многогранниками и кусочно-аффинными отображениями (за их наглядность), именно такие объекты выбраны основными элементами построений. Схема построений распространяет понятия теории сетей—следов на большие размерности, но с указанными ограничениями типа отображений. Таким способом в первой главе определяются и изучаются многогранники—следы, их деформации и объем.
Как уже сказано, классическим примером задач с деформациями, изменяющими геометрию, является проблема Плато, состоящая в поиске так называемых глобально минимальных поверхностей, т. е. имеющих наименьший возможный объем при заданной границе, или, скажем, в данном гомологическом (гомотопическом) классе. В 60—70-е годы XX века многомерная проблема Плато была решена (т.е. было доказано существование глобально минимальных поверхностей) для нескольких широких классов обобщенных поверхностей, таких как О-поверхности (Райфенберг [6]), целочисленные потоки (Федерер, Флеминг [7]), варифолды (Альмгрен [8]), спектральные многообразия и экстраординарные когомологии (Фоменко [9]), мультиварифолды

(Дао Чонг Тхи [10]). Отметим, что.перечисленные подходы носят весьма абстрактный характер, и привлекают множество разнородных теорий, уводя от простоты задачи. Тем самым, возникает задача более наглядно описать геометрические особенности, характерные проблеме Плато. На основе понятия многогранников—следов, их объема и деформаций некоторые такие особенности рассмотрены во второй главе.
Благодарности
Автор благодарит своего научного руководителя профессора А. О. Иванова и профессора А. А. Тужилина за постановку задач и внимание к работе; а также благодарит весь коллектив кафедры дифференциальной геометрии и приложений, возглавляемой академиком РАН А. Т. Фоменко, за возможность плодотворно заниматься научной работой.

"Симплекс L является образом некоторого симплекса не меньшей его размерности, то есть найдется в комплексе К симплекс К, вершинное множество которого включено в множество (а, Ъ, f-1 (гщf-1 (w7)} при обозначении card vert К = -v +1. Таким образом можно считать, что a G vert К.
"Возьмем две точки х',х" G (f-1)°(L).
"Тогда х' G S' и х" G S", для некоторых симплексов S', S" в комплексе К таких, что
vertS',vertS" с {а,Ъ, р1 (wi)
"Рассмотрим случаи взаиморасположения.
°S', S" < К: здесь х1 и х" связаны отрезком в К.
°S' <3 К, S" ф К: у симплекса S" есть вершинная точка не из vert К, т.е. точка Ъ: В связи с тем, что х" G S", ясно, что точка х" связана с точкою Ъ в S". Далее заметим, что точка Ъ связана отрезком В сточкою a, h6ov G vertL Ясно также, что точка а связана с точкою х' в К.
"S' ф К и S" ф К: у симплексов S', S" есть вершинная точка Ъ, т.е. точки х', х" связаны с точкою Ь. И
"Замечание Следующее утверждение подобно Утверждению 23- Еще заметим, что прообраз вершины связен по Утверждению 31, но прообраз одного -чечного подмножества образа стяжения не всегда связен, например, рис. 11.11 (пример и для Утверждения 30).
32 "Th Для стяжения f ребра Е относительно полного симплициального комплекса К и всякого подкомплекса Т в комплексе f°°(K), у которого множество иТ замкнуто и связно, верно, что множество (f_1)°(uT) связно и замкнуто. Доказательство
"Выберем некоторый подкомплекс Т в комплексе f°(K) такой, что множество иТ замкнуто и связно. Еще выберем некоторые точки х' и х" из (f-1)°(uT). "Для х' и х" найдутся Т', Т" такие, что
Т',Т" G Т, x'G(f-1)°(T/), х"е(Г')°(Т").
"По Утверждению
♦ соединим точку х' с некоторою вершинною точкою в (f-1 )°(Т');
• соединим точку х" с некоторою вершинною точкою в (f-1 )°(Т").
"Таким образом можно считать, что точки х', х" вершинные, и точки f (х'), f (х") также суть вершинные в Т, и от вершинной точки f(x') до вершинной точки
а b —7 ' >а(а) = а(Ь)
1 o(d) = а(е)
У о(с)
треугольника нет
Илл. 1. пример несвязного прообраза