О краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью

• Автор: Зуев, Алексей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 70 с.

§1. Аксиоматический подход к построению теории обыкновенных дифференциальных уравнений

§2. Метод Лерэ - Шаудера и сдвиг вдоль траекторий

§3. Новый вариант метода сдвига вдоль траекторий

§4, Аппроксимативные производные и интеграл Данжуа

Глава 1. Задача Дирихле

§1. Существование решения

§2. Об ацикличности множества решений задачи Дирихле

Глава 2. Периодические решения

§1. Дифференциальное включение первого порядка

§2. Дифференциальное включение второго порядка

Глава 3. Задача с нелинейными условиями

§1. Дифференциальное включение первого порядка
§2. Дифференциальное включение второго порядка
Список ЛИТЕРАТУРЫ

Диссертация подготовлена на кафедре общей топологии и геометрии Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. В работе рассматриваются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных включений с разрывной правой частью.
Методы исследования. Работа опирается на исследования в теории задачи Коши и топологического строения пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, а также в теории гомологий. Для исследования геометрии пространств решений дифференциальных уравнений и включений в работе используются методы топологии и функционального анализа.
Научная новизна. Полученные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:
Сформулирован принцип продолжения по параметру для нового варианта метода сдвига вдоль траекторий обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий доказывать существование решений краевых задач для уравнений и включений с разрывной правой частью.
Доказаны теоремы о существовании решения задачи Дирихле, периодического решения и решений некоторого класса задач с нелинейными краевыми условиями для дифференциальных уравнений и включений с разрывной правой частью. Доказанные теоремы обобщают известные результаты классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и носят характер законченных результатов.

Теоретическая и практическая ценность. В диссертации доказаны результаты, распространяющие известные теоремы существования решений краевых задач классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений на дифференциальные уравнения и включения с разрывной правой частью. Проделанная работа представляет собой определенный шаг в построении достаточно полной теории уравнений с разрывной правой частью.
Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались автором на семинаре им. П.С. Александрова (научно-исследовательском семинаре по общей топологии) механико-математического факультета МГУ (неоднократно).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[3].
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 70 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 41 наименование.
Актуальность темы. Становление и развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью можно связать с именами ведущих зарубежных и отечественных математиков, таких как К. Каратеодори, Дж.Л. Дэви, А.Ф. Филиппов. Актуальность исследований в данной области была продиктована большим количеством задач в теории оптимального управления, приводящих к дифференциальным уравнениям с разрывами в правой части. К таким задачам приводит рассмотрение систем с переменной структурой, со скользящими режимами, задач автоматического управления с переключателями и
Впервые теория обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью построена К. Каратеодори, см. [31]. Записав интегральное уравнение
др., си. [8], [9], [14].
(0.1)

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
порядка вида
(2.10)
х" Е ах' + д(і, х).
Переписав его в виде дифференциального включения первого порядка в пространстве вдвое большего числа измерений, получим нормальную форму включения (2.10):
где 2 = (ж, у) и /ф£, г) — (у, а у+д^, ж)). Рассмотрим задачу нахождения периодического решения включения (2.10) периода Т
Для доказательства существования решения задачи (2.11) для дифференциального включения (2.10) также оказывается возможным воспользоваться теоремой 1.1.
Теорема 2.3. Пусть пространство Д решений нормальной формы дифференциального включения (2.10) принадлежит классу Яс^(и). Пусть функция д ограничена на компактных подмпоэ/сествах пространства Ж х Ж"; А > 0 и
при всех т £ [0; Т] и £ £ Ж", удовлетворяющих условию |£| ^ А. Тогда задача (2.10), (2.11) имеет решение.
Доказательство. Рассмотрим в качестве пространства X пространство решений нормальной формы дифференциального уравнения ж" = ах' + х. Для а < 0, Ь > Т определим при Л £ (а; Ъ) пространства Да формулой Да = И * X, как это сделано выше в доказательстве теоремы 2.1, и воспользуемся принципом продолжения по параметру.
Для этого возьмем произвольно Л £ [0; Т] и функцию г = (ж, ж') £ Д, такую что ДО) = г(Т) и докажем, что существуют такие постоянные Мц,М1 > 0, не зависящие от функции г, что справедливы неравенства
г' Е г),
(2.11)
х(0) = х(Т), х'(0) = х'(Г).
(2.12)
ІітШ(х,д(Ь,х)) >