L p-когомологии липшицевых римановых многообразий и некоторые вопросы компактной и нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования

• Автор: Сторожук, Константин Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 48 с.

А^-комплексом де Рама на многообразии М называется коцепной комплекс дифференциальных форм, модуль которых интегрируем в p-той степени
• • • - V-M) ^ ЩМ) Л и+М)
с плотно определенным дифференциалом dk, который является замыканием оператора внешнего дифференцирования, заданного на множестве гладких форм из пространства Lp(M). Пространством ^-мерных Ьр-когомологий многообразия М называется фактор-пространство ker dk/ im dk~l.
Как известно, пространство гармонических форм на компактном римановом многообразии изоморфно пространству обычных когомологий этого многообразия. Активное изучение А2-комплекса началось, когда были установлены аналоги разложения Ходжа в пространстве А2(М) форм, интегрируемых с квадратом [1,2]. Таким образом возник гомологический подход к Тг-комплексу.
Атья предложил использовать для описания гармонических А2-форм вместо обычных когомологий А2-когомологии [3]. А2-когомологи:и, в частности, так называемые А2-числа Бетти, введенные в [3], оказались весьма полезным инструментом для изучения некомпактных римановых многообразий или римановых многообразий с особенностями. Чигер в [4] установил, что А2-когомологии компактного риманова псевдомногообразия совпадают с когомологиями Горески — Макферсона. Исключительно успешным для теории характеристических классов оказалось применение Сулливаном и Телеманом А-2- методов к липшицевым римановым многообразиям [5].
В дальнейшем выяснилось, что Ар-комплекс обладает многими свойствами А2-комплекса. Ар-когомологии римановых многообразий изучаются в работах таких авторов, как М. Громов, П. Пансю. [6,7]. В России этими исследованиями занялись в 80-х гг. В. М. Гольдштейн, В. И. Кузьминов и И. А. Шведов [8,9], эти исследования успешно продолжаются по сей день.
Ар-когомологии компактного многообразия совпадают с обычными когомологиями де Рама, и следовательно, с его сингулярными когомологиями [8]. Поэтому при изучении Ар-когомологий некомпактных многообразий возникают естественные вопросы: в какой мере эти когомологии функториальны?
Основным инструментом вычисления обычных когомологий произведения многообразий является формула Кюннета. При изучении свойств римановых многообразий, достаточных для выполнения Ap-формул аналогичного вида оказалось удобным обобщить ситуацию, рассматривая, с одной стороны, ’’весовые” Ар-когомологии, а, с другой стороны, не только прямые произведения, но и искривленные произведения.
Искривленным произведением римановых многообразий X и Y с искривляющей функцией / : X —» R+ называется многообразие Л' х Y, наделенное римановой метрикой d(x,y)2 = dx2 + f(x)2dy2. Искривленные произведения возникают при описании особенностей римановых многообразий типа ’’каспов” или конусов. Такие особенности имеют, например, алгебраические псевдомногообразия или фактор-пространства гладких многообразий по не свободно действующей группе [10]. С другой стороны,
Typeset by Дд/15-TeX

многие популярные пространства естественно задаются в виде искривленного произ-ведения. Например, риманову структуру пространства Лобачевского на бесконечности описывает искривленный цилиндр [0, оо[х/5'Аг—1, где /(ж) = ех.
Условия, при которых для искривленных произведений выполняются формулы вида формул Кюннета, начали изучаться в работах [11,12,13].
Топологию пространств Ьр-когомологий отражают свойства соответствующего оператора внешнего дифференцирования <1Р. Например, нормальная разрешимость оператора с1р равносильна отделимости соответствующих Д^-когомологий. Таким образом оказалось весьма полезным изучение условий, при которых оператор внешнего дифференцирования является нормально или компактно разрешимым (см. уже упомянутую работу Чигера [4]). При некоторых предположениях спектр оператора Лапласа V = с!*с1 + <М* дискретен тогда и только тогда, когда соответствующий оператор (I компактно разрешим [14], см. также [15].
На компактном многообразии оператор внешнего дифференцирования является компактно разрешимым. Последовательность работ В. М. Гольдштейна, В. И. Кузьминой а и И. А. Шведова посвящена выяснению условий, при которых оператор <1, является нормально или компактно разрешимым.
В большинстве методов, развитых при изучении Гр-комплексов, оказалась существенной взаимная сопряженность пространств Др и £? при р-1 + д-1 = 1, которая имеет место только при 1 < р < оо. Поэтому важный случай р = 1,оо изучен относительно мало. Кроме того, как правило, существенно используется гладкость соответствующих римановых многообразий.
В диссертации удалось разработать методы, позволяющие в ряде случаев отказаться от требования гладкости, а также ”не выпускающие” случай р = 1, сю.
Диссертация состоит из двух глав. Нумерация формул, лемм и теорем в каждой главе независимая.
В первой главе диссертации изучаются Гр-когомологии искривленного произведения римановых липшицевых многообразий. Доказывается формула Кюннета для Ьр-когомологий искривленного произведения липшицевых римановых многообразий X и У при р € [1,оо] в случае, если многообразие У компактно или если его Д^-комплекс Де Рама расщепляем, т.е подпространства ш йи кег <1 дополняемы в Ьр.
Первая глава состоит из четырех параграфов. В первом, вводном параграфе на липшицевом многообразии вводятся понятия дифференциальной формы и римано-вой структуры. Затем для банахова пространства Е, весовой функции рм ■ М —> К-1- на многообразии М и числа р € [1, оо] определяются банаховы пространства ДР(М, рм', Е) 5-значных измеримых дифференциальных форм, модуль которых интегрируем на М в р-той степени с весом рм- Если Е = К, то пишем просто Др(АД, рм)-Вводится также понятие ^-слабо измеримой формы со значениями в пространстве Е, сопряженном к некоторому банахову пространству 5 и соответствующие пространства *-Др(М, рм; Е). Такие ” *-слабые” пространства в дальнейшем рассматриваются ДЛЯ Е = Доо = (Д1)*.
Во втором параграфе определяется искривленное произведение липшицевых рима.-новых многообразий X и У с искривляющей функцией / : X —■> И^. После этого

строится отображение
Т : Lkp(X X, Y,PxPy) - 0 11(Х,рх1^-]-,Ц(¥,ру)),
i+j—k
которое обобщает преобразование Фубини (Fw(x))(y) := и>(х,у) для интегрируемых функций. Доказывается (теорема 1), что это отображение является линейным топологическим изоморфизмом банаховых пространств. При р = оо это отображение осуществляет изоморфизм пространства х у Y, рхру) и ^-слабого пространства
0!+J=** )).
В третьем параграфе определяется понятие банахова комплекса, обобщающее понятие комплекса дифференциальных форм. Банаховым комплексом £ называется последовательность £ = (Е3, dy, | j £ Z) банаховых пространств Е3 и замкнутых линейных операторов (дифференциалов) dy. : Е3 —> EJ+1 с областью определения Г; С Е3 таких, что imdj, С kerdp+1 для каждого j € Z. Полагаем Z3(£) := kerdf — пространство циклов; В3(£) := imdp 1 — пространство границ. Фактор-пространство HJ(£) := Z3(£)j В3 {£) называется (у-мерными) гомологиями банахова, комплекса £.
Для двух банаховых комплексов определяются понятия отображения и морфизма банаховых комплексов. Именно, отображением Т : £ —> £2 степени ( £ Z банаховых комплексов называется семейство непрерывных отображений Т = (Ti : Е —> E^+I | г Е Z). Если отображение Г переводит пространство Г1 в Г2 и коммутирует с дифференциалами, то оно называется морфизмом.
Лемма 3.1. Пусть £ и £2 — банаховы комплексы, S и Т — отображения из £ в £2 степени —1 и 0 соответственно, причем эти отображения переводят Гх в Г2 и для любого ш Е Гх выполнена формула гомотопии
Тш = Sdr1io + dr2Suj.
Тогда отображение Т является морфизмом банаховых комплексов и индуцирует нулевое отображение гомологий НТ : H(£i) —► Д(£г)-
Далее вводится понятие расщепляемости банахова комплекса. Банахов комплекс £ = (E3,dJr | у € Z) называется расщепляемым, если для каждого j Е Z пространство циклов Z3{£) и пространство границ В3(£) дополняемы в пространстве Е3. Устанавливается (лемма 3.2), что в случае расщепляемости банахова комплекса £ существуют морфизм Р : £ —» £ степени 0, являющийся проектором и отображение 5 : £ —+ £ степени —1 такие, что для любого ш Е Гк выполнена соответствующая формула гомотопии. В этом случае пространство 'И.3 := Р(£3) гомеоморфно пространству Н3(£) и банахов комплекс £ гомотопически эквивалентен своему подкомплексу Д, который рассматривается как банахов комплекс с всюду определенным нулевым дифф еренциалом.
После этого для липшицева риманова многообразия X, числа р и последовательности весовых функций (ту : М —» R+ | j Е Z) для любого банахова комплекса £ определяется комплекс Lp(£) = (Lp(£),d^) дифференциальных форм со значениями в банаховом комплексе £: