Квазиклассические асимптотики в спектральных задачах и эволюционных уравнениях на сингулярных множествах

• Автор: Чернышев, Всеволод Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 78 с. : ил.

Содержание

Введение
1. Квазиклассические асимптотики в спектральных задачах для уравнений Шредингера на квантовых графах
1.1. Общие замечания
1.2. Постановка задачи
1.3. Алгоритм построения правил квантования
1.4. Доказательство теоремы
1.5. Примеры
1.5.1. Случай двух двух точек, соединенных двумя отрезками
1.5.2. Дерево с двумя А-вершинами

1.6. Асимптотические собственные значения, соответствующие собственным функциям, локализованным в вершине графа
1.7. Описание ядер для случая нулевого потенциала
2. Квазиклассическая асимптотика и статистические свойства гауссовых пучков для нестационарного уравнения Шредингера на геометрическом графе
2.1. Вводные замечания
2.2. Распространение квантовых пакетов на геометрическом графе
2.2.1. Комплексный росток Маслова на прямой
2.2.2. Гауссовы пакеты на полупрямой
2.2.3. Случай двух бесконечных лучей, сходящихся в одной тотпсе
2.2.4. Случай трех бесконечных лучей, сходящихся в одной точке
2.2.5. Случай петли
2.2.6. Распространение квантовых пакетов на произвольном графе
2.3. Статистика распространения квантовых пакетов
2.3.1. Асимптотика числа квантовых пакетов
2.3.2. Плотность распределения пакетов
2.4. Распространение гауссовых пакетов на однородном дереве
3. Квазиклассические спектральные серии квантового оператора Шредингера, соответствующие неизолированным положениям равновесия

3.1. Постановка асимптотической квантовой задачи
3.2. Спектральные серии, соответствующие неизолированным положениям равновесия
Список использованных источников

Введение
Работа посвящена описанию квазиклассического приближения для уравнений квантовой механики, соответствующего сингулярным множествам, в частности, построению квазиклассической теории на геометрических графах.
Теория дифференциальных уравнений и краевых задач на геометрических графах интенсивно развивается в последние десятилетия. Дифференциальные уравнения на пространственных сетях используются при моделировании различных задач естествознания: колебаний упругих сеток, процессов в сетях волноводов, состояний электронов в молекулах и других.
Большую часть работ в этой области условно можно разделить на два направления. Первое из них связано с применением методов теории операторов, теории самосопряженных расширений. Такой подход одним из первых использовал Б. С. Павлов, вместе с соавторами, в 80-х годах (см., в частности, статью [3]). В настоящее время в этой области активно работают П. Экснер,
О. Пост, П. Курасов, У. Смелянский (см. обзор [29] и ссылки в нем) и многие другие. Например, в работе [30] исследована обратная спектральная задача и получена формула следа. Второе направление связано с получением аналогов классических результатов теории дифференциальных уравнений для случая геометрических графов. В частности, исследовались спектральные и качественные свойства решений краевых задач, построена теория неосцилляции, изучалась функция Грина, активно исследуются волновые процессы на графах. Здесь можно отметить работы Ю.В. Покорного, В.Л. Прядиева, A.B. Боровских, О. М. Пенкина, К. П. Лазарева, С. А. ПТаброва (см. книгу [15] и ссылки в ней) и других.
Возрос интерес к уравнениям Шредингера на сетях. Произошло это в связи с тем, что квантовые системы могут описываться тонкими многообразиями, которые в пределе стягиваются к графам (см., например, [27]).
Для волнового уравнения на геометрическом графе (а точнее, на декартовом произведении графа и К) при гладких условиях трансмиссии получены аналоги формулы Даламбера, и для некоторых классов геометрических графов описаны профили прямой и обратной волн (F. Ali-Mehmeti [22]; Ю.В. Покорный,
В.Л. Прядиев, A.B. Боровских, A.B. Копытин, серия работ 1999-2003; С. Cattaneo, L. Fontana [24]). Исследовано гиперболическое уравнение на геометрическом графе, которое на ребрах этого графа имеет вид одномерного волнового уравнения, а в вершинах имеет особенность типа 5-функции при младшей производной по времени (см. [5]).

Замечание. Старшая часть асимптотической собственной функции при выполнении условий Теоремы 1.3 имеет вид exp(S/h)co и не зависит,
как и асимптотическое собственное значение с точностью до О (h? Iі), от
коэффициентов в условии трансмиссии. Но на следующие поправки это условие уже влияет. В частности, для получения приближения порядка 0(1г5!2) для собственных чисел нужно, дополнительно к условиям теоремы, потребовать, чтобы значения односторонних третьих производных V-"(a)
совпадали по модулю, а их знаки удовлетворяли условию a.j sgn{V-"(а)) — 0.

Доказательство. Следуя идеям, изложенным в [10], будем искать решение спектральной задачи на каждом ребре в виде
= exp (ipl + Ip{h + ipih2 + 0(h5!2)), (1.23)
E = E0 + Eih + E2h2 + 0(h5!2). (1.24)
Рассмотрим спектральную задачу на каждом ребре отдельно. Приравнивая слагаемые при одинаковых степенях h, получим уравнение на S (которое называется уравнением Гамильтона-Якоби и соответствует h°) и уравнение на рРт (уравнение переноса). Будем искать их решения в окрестности точки а в виде отрезков ряда Тейлора. Для этого возьмем функцию Sj в виде
Sj = S32(x - а)2 + S{(x - af + S{{x - af + 0((x - a)5)). (1.25)
Функции ipj. разложим в ряд до членов порядка 0((х — а)3):
0 = 4 + Ci(® - о) + 4>(х - а)2 + 0((х — а)3), (р{ = сД0 + d{(x — а) +
+ сІ2(х — а)2 + 0((х-~а)3). Функцию V(х), ограниченную на ребро, запишем так: VJ(æ) = Ц? + V/(x — а) + Vj(x — a)2 + V£(x — о)3 + 0((x — a)4).
Воспользуемся тем, что (x — a)TOcxp((æ — a)/К) = 0(hml2).
Приравнивая слагаемые одного порядка малости, получим систему алгебраических уравнений. А именно:
При /г° : Vo Cq = Для порядка h1!2 : (ж — a)(Vpc] + fcJü) = Eqc{(x — а). Для порядка h1 : 4(SÎ)2(x — afc{ — 2iS{c{ + Vpcfx — а)2 + d30vj + V/c](x — a)2 + + Vj(x — а)2сІ = Eqco(x — a)2 + Eic + EqiPq.
Решая ее (на каждом ребре отдельно), находим, что Е0 = VJ(a), V[ = (Vf (а) = 0. Далее 4Sf+ Vj = 0, Е = —2iSl- Следовательно, Е = fvj.