Дифференцируемое отображение аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространства

• Автор: Аль-Хассани Мудхар Аббас Маджид
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 153 с. : ил.

Содержание
Введение

§1. Общая характеристика работы

§2. Краткое содержание диссертации

Глава I. Дифференцируемые отображения аффинных С2т и проективных Р„ пространств

Введение

§1. Аналитический аппарат

§2. Отображение Ул'„: 0„ —> Рп

§3. Отображение У^„: От —> РП{т<п)

§4. Отображение У'пп: Qm -> Рп (те > п)

§5. Отображение Уш2„: —э Р*

§6. Характеристические направления в точке В е
Глава П. Поля инвариантных геометрических образов дифференцируемого отображения аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространства
Введение
§1. Аналитический аппарат
§2. Геометрическая интерпретация отображений Ухт , Ут2п и /т2"
§3. Случай т<п
§4. Случай т > п
§5, Поля гиперконусов ф2_, с 0И и центроаффинных преобразований
§6. Поля гиперконусов (^ч сОли О2., с С>т
Глава III. Связности дифференцируемого отображения аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространства
Введение
§1. Аналитический аппарат
§2. Поля геометрических образов на базе (2т (т<п)
§3. Базовые инвариантные связности расслоения Пт 2п
Глава IV. Дифференцируемое отображение ранга г аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространства
Рп (r Введение
§1. Аналитический аппарат
§2. Отображение V^ n
§3. Отображение Ут2„
§4. Отображение f*": Qm —> М2"

§5. Характеристические направления в в r-гоюскости в случае отображения Vnn
§6. Заключение
Список литературы
Публикации по теме диссертации

Введение §1. Общая характеристика работы
1.1. Актуальность темы
Диссертация посвящена решению некоторых задач дифференцируемого отображения т -мерного аффинного пространства С>га в многообразие М2" всех невырожденных нуль-пар п -мерного проективного пространства Р„.
1.1.1. Как известно [24], [34], [107] и [108] дифференциально-геометрические структуры на погруженных многообразиях играют существенную роль при исследовании внутренней геометрии этих многообразий.
В соответствии с [36] к внутренней геометрии погруженного многообразия относятся все геометрические и аналитические конструкции, которые формулируются в терминах геометрических объектов, охваченных компонентами внутреннего фундаментального геометрического погруженного многообразия. При этом, как указывается в [36, с. 349] всякое поле локальных геометрических объектов погруженного многообразия, охваченное одним из полей его фундаментальных объектов, является полем, инвариантно присоединённым к этому многообразию.
С развитием новых методов дифференциально-геометрических исследований и в особенности метода Г.Ф. Лаптева [36] происходит расширение объектов исследований по указанным структурам. В соответствии с [46, с. 275] и [24] дифференциальногеометрической структурой на дифференцируемом многообразии Мп называется заданное на этом многообразии поле геометрического объекта, присоединённого к некоторой группе Ли С. Этот геометрической объект называется структурным объектом дифференциально-геометрической структуры, причем всякая С-структура является дифференциально-геометрической структурой. Следует отметить, что всякое оснащенное многообразие так же относится к многообразиям с заданным полем дифференциально-геометрической структуры. Современное положение теории оснащенных многообразий, включенных в общую теорию С-структур и в теорию пространств со связностью, достаточно подробно изложено Столяровым А. В. в [86]. Здесь же отмечается, что геометрия оснащенных многообразий практически неисчерпаема.

§2. Отображение Va'n :Qn —э Рл
2.1. В этом параграфе решается задача 1 для отображения (1.1.3), когда т = п. При этом используется следующая система индексов:
a,b,c,p,q = l,n i,j,k,l = l,n. (1.2.1)
Предполагается, что отображение
(1.2.2)
является невырожденным (биективным), т.е.
det[A‘];*0. (1.2.2’)
Поэтому можно ввести в рассмотрение в каждой точке В е Qn величины В‘‘ по формулам
В:а1=Щ , В*А'а=Ььа. (1.2.3)
Из (1.1.4) с учетом (1.2.3) заключаем, что величины В- удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
VBf = dBl; - в']щ + в'Х = ву, Bbic = -а;св*в). (1.2.4)
2.2. Рассмотрим следующие величины
01=А1ЬВ:В)^ G^=Q ; G,=Gl (1.2.5)
Из (1.1.4) и (1.2.4) следует, что величины (1.2.5) удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:
щ = dG; + с,; - GIП] - с: а'.+щ+Щ)®*=с; е%
VG,. = dG, - Q,Gk +(п + l)cof = G,c9% (1.2.6)
G* = А* #“ Вь + A‘ #“ + A* S° Й4, G = G .
ijc abc i j ab ic j ab i jc9 ic ike
Найдем те геометрические образы в каждой точке Be. Qn, которые определяются величинами (1.2.5).
Кривую к, = k(t), описываемую точкой В е Qn, будем задавать дифференциальными уравнениями:
6" = ?“0, (1.2.6’)