Клиффордовы группы движений на обобщенных римановых пространствах

• Автор: Захарова, Ольга Александровна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 110 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

§ 1. Многолистные пространства

§ 2. Реализация многолистных пространств над алгебрами.

§ 3. Группы движений на многолистных пространствах

ГЛАВА 2. РАССЛОЕНИЯ С ДИСКРЕТНЫМИ СЛОЯМИ

§ 4. Многолистные многообразия как расслоения с дискретными

слоями

§ 5. Касательные расслоения над многолистными

многообразиями

§ 6. Калибровочные группы движений на многолистных многообразиях и инвариантные операторы
ГЛАВА 3. КРИВИЗНА
§ 7. Поля кривизны на многолистных многообразиях
§ 8. Геометрия трехлистной поверхности
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ.
Множества физических объектов, будучи совершенно различными по своей природе, зачастую описывается одними и теми же математическими структурами. Так, например, напряженность магнитного Н и электрического Е полей, имея одинаковую векторную структуру и образуя единое электромагнитное поле, все же принадлежат различным векторным пространствам. Еще одним примером таких объектов могут служить пространство скоростей и пространство ускорений, зачастую (как в случае классической механики в трехмерном евклидовом пространстве) неразличимые между собой.
Проблему математического различения объектов, имеющих с одной стороны одинаковую векторную или тензорную природу, а с другой стороны существенно различных так, что о линейных операциях над ними можно говорить только в формальном смысле, можно разрешить, вводя дополнительную алгебраическую структуру. Введение алгебраической структуры в линейное пространство приводит к понятию пространства над алгебрами. Пространства над алгебрами являются предметом интенсивного изучения многими математическими школами, как отечественными так и зарубежными. В частности, существенные успехи в этом направлении были достигнуты Казанской геометрической школой (А.П. Норден, В.В. Вишневский, А.П. Широков, В.В. Шурыгин и др.) При этом «-мерное линейное пространство над т-мерной алгеброй в работах Казанской и многих других школ реализуется вит -мерном линейном пространстве с т инвариантными операторами. При таком подходе объекты, отнесенные к различным базисным элементам т-мерной алгебры, лежат, вообще говоря, в различных подпространствах и-т-мерного линейного пространства. Это

обстоятельство является основным препятствием при использовании линейных алгебр для различения объектов, имеющих однородную природу. Это препятствие можно снять, введя понятие многолистного пространства, листы которого идентичны между собой.
Многолистные пространства, как геометрический объект, сами по себе, безусловно, не требуют привлечения каких-либо алгебраических структур для своего определения. Интуитивно многолистную плоскость можно мыслить как стопку бумаги. Более строго многолистное пространство размерности и можно определить как прямую сумму т линейных «-мерных пространств с указанием правила соответствия точек (или векторов), лежащих на различных листах. Причем геометрии листов согласованы настолько, что появляется возможность изображения объектов с различных листов объектами одного «-мерного пространства, различая их лишь метками принадлежности к тому или иному слагаемому прямой суммы. При этом «расстояние» между различными листами не определено, так что можно считать его нулевым.
Если в качестве метки принадлежности выбирать различные цвета, то многолистное евклидово пространство можно представлять «обычным» евклидовым пространством, все объекты которого окрашены в т различных цветов. В этом случае можно говорить о /«-цветном «-мерном евклидовом пространстве как о наглядной модели построенного выше «г-листного «-мерного евклидова пространства. Подобная модель аналогична той, которая используется в теории неабелевых калибровочных полей, где многоцветные поля отвечают за кварк-глюонные взаимодействия. В другом случае в качестве меток можно выбрать «индексы порядка» и говорить об «евклидовом» пространстве, элементами которого являются упорядоченные наборы элементов одного и того же «-мерного пространства. Разумеется, все эти модели структурно эквивалентны, и их общими структурными свойствами является линейная независимость линейных объектов, помеченных различными метками (номерами листов).

над алгеброй К[г2]. Пусть {е(; 1 = 1,...,и} базис модуля £"(Щг2]), тогда
произвольный вектор ХеЕ'ЧЩг,]) представим в виде: Х = х'е, + х2е2 + ... + х"е„, где х" е ЩЪ2). Если {е,} - ортонормированный базис модуля то скалярное произведение произвольной пары
векторов X, У е£"(Щг2]) определяется формулой:
Х-У = х'у| +х2у2 +... + х"у".
Многолистное пространство £?2, алгебраическая структура которого определена модулем является 2-слойное и-мерное
пространство, а его подпространства Е"0 и Е", образованные базисными элементами {е,} и {е,е} соответственно, будут представлять собой тогда ^ базовый (нулевой) и первый лист. Базис пространства 0"2 составляют
элементы {е1,е2,...,еп,е1е,е2£,...,епе}, а произвольный его вектор имеет вид: X = х°'е, + дс02е2 +... + х°"еп + Х^'е^ё + хпе2£ +... + х'"вп£,
где х01, е Я, (1, е} - элементы структурной группы Ъг. Очевидно, что оператор J: £” —► Е" действует по закону: У(х) = х • е, где х е Е". Следовательно, вектор 8(х) = х'е,£ + х2е2£ +... + х"еп£ е Е" является образом произвольного вектора х = х'е, + л:2е2 +... + х"еп е Е”й.
Пусть теперь в линейном пространстве Е" задана евклидова метрика gjJ = 512. Тогда индуцированная метрика пространства Е" будет так же евклидовой, а метрическая форма С объемлющего пространства
5и 8„

0"г в координатной форме имеет вид: =

. Очевидно, что
<1еК7 =0. Скалярное произведение произвольных элементов
Х = х° + х'е, У = у°+у'££(21 определяется формулой:
Х-¥ = <7(Х,¥) = С(х0,у°) + С(х,,у0) + С(х0,у,) + С(х,,у|) = =х01уе‘+х,1у°‘+х°У'1+хиуи,