Топология и комбинаторика действий торов

• Автор: Панов, Тарас Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 296 с. : ил.

Оглавление
Введение
История предмета исследований, его актуальность
Содержание диссертации и основные результаты
Благодарности
Глава 1. Основные комбинаторные и геометрические понятия
1.1. Выпуклые многогранники
1.2. /-векторы и соотношения Дена-Соммервилля
1.3. Вееры
1.4. Симплициальные комплексы и кусочно-линейные
отображения
1.5. Барицентрическое подразбиение
1.6. Двойственность Александера
1.7. Симплициально клеточные комплексы и
симплициальные частично упорядоченные множества
1.8. Кубические комплексы
Глава 2. Кольца граней
2.1. Кольца граней симплициальных комплексов
2.2. Гомологические свойства колец граней: Тог-алгебры и
числа Бетти
2.3. Симплициальные комплексы Коэна-Маколея
2.4. Горенгатейновы комплексы и соотношения Дена-
Соммервилля
2.5. Кольца граней симплициальных частично
упорядоченных множеств
2.6. Симплициально клеточные комплексы Коэна-Маколся
2.7. Горенштейновы симплициально клеточные комплексы
2.8. Обобщенные соотношения Дена-Соммервилля
Глава 3. Торические многообразия
3.1. Классическая конструкция
3.2. Торические многообразия многообразия как
факторпространства: конструкция Батырева-Кокса
3.3. Гамильтоновы действия тора и симплектическая
редукция
3.4. Пространство орбит действия компактного тора
Глава 4. Квазиторичес.кие многообразия

Оглавление
4.1. Определение и конструкция квазиторических
многообразий Дэвиса-Янушкевича
4.2. Полиориентации и комбинаторные квазиторические
данные
4.3. Канонические гладкости и стабильно комплексные
структуры
4.4. Веса действия тора и знаки неподвижных точек
4.5. Когомологии и характеристические классы
квазиторических многообразий
4.6. Роды Хирцебруха квазиторических многообразий
4.7. Пример: многообразие ограниченных флагов
4.8. Квазиторические представители в классах кобордизмов
4.9. Торические и квазиторические многообразия
4.10. Башни Ботта
Глава 5. Локально стандартные Т-многообразия
5.1. Предварительные результаты о когомологиях Т-
многообразий
5.2. Характеристические подмногообразия
5.3. Пространства орбит и многообразия с углами
5.4. Кольца граней многообразий с углами
5.5. Когомологии локально стандартных Т-многообразий
5.6. Т-многообразия над гомологическими
многогранниками
5.7. Т-многообразия над гранеацикличными
многообразиями с углами
5.8. Графы весов
5.9. Раздутия Т-многообразий и Т-графов
Глава 6. Момент-угол-комплексы и многообразия
6.1. Общая конструкция момент-угол-комплекса Z/c
6.2. Конструкция Бореля и пространство Дэвиса-
Янушкевича
6.3. Клеточное разбиение момент-угол-комплекса
6.4. Кольцо когомологий момент-угол-комплекса
6.5. Биградуированные числа Бетти комплекса Z/с
6.6. Конфигурации координатных подпространств
6.7. Момент-угол-комплекс как множество Кемпфа-Несс.
Приложение I. Резольвенты и функтор Тог
Приложение II. Регулярные последовательности и алгебры
Коэна-Маколея
Приложение III. Действия групп и эквивариантные когомологии

Оглавление -3'"'"
Приложение IV. Стабильно комплексные структуры и
комплексные кобордизмы
Неориентированные бордизмы
Ориентированные и комплексные бордизмы
Структурные результаты
Мультипликативные образующие
Приложение V. Формальные группы и роды Хирцебруха 279 Элементы теории формальных групп
Формальная группа геометрических кобордизмов
Роды Хирцебруха
Инвариантные стабильно комплексные структуры
Приложение VI. Необходимые сведения из геометрической
теории инвариантов
Литература
1.6. ДВОЙСТВЕННОСТЬ АЛЕКСАНДЕРА
полиэдров |/Ci | и |/С2| вдоль граней о и сг2 и последующим удалением грани а, получаемой при отождествлении оу с <т2. В случае, когда выбор симплексов оу, <72 определяются контекстом, мы будем использовать сокращённое обозначение ЛД # /Сг-
ПРИМЕР 1.6.4. Конструкция связной суммы симплициальных комплексов следующим образом связана со связной суммой простых многогранников (см. конструкцию 1.1.9). Пусть Pi и Р2 — простые многогранники. Положим К.i = д(Р*), /С2 = д^Р^). Тогда
^i#/C2 = ô((P1#P2)*).
Определение 1.6.5. Линк и звезда симплекса a Ç. К, определяются как подкомплексы
1кс <7 := {т G /С : <7 U т G /С, сг П т = 0 } ;
stjç <7 := {т G /С: <7 U т G /С}.
Определим также подкомплекс
dsttc <7 := {т € /С: сг U т G /С, <7 (£. т}.
Тогда мы имеем последовательность вложений 1кк <7 С ôstx: сг с stx; а.
Для любой вершины v G К. подкомплекс st^ v можно отождествить с конусом над lkjc v = dat/cv. Полиэдр | stx; состоит из всех граней полиэдра |/С|, содержащих v. Мы будем опускать индекс К. в
обозначениях липка и звезды, когда это допускается контекстом.
Подкомплексы 1к<7 определяют топологическую структуру полиэдра К, вблизи каждой его точки. В частности, следующее утверждение описывает «локальные гомологии» полиэдра.
Предложение 1.6.6. Пусть х — внутренняя точка некоторого симплекса <7 G /С. Тогда
tf,(|/C|,|£|æ)
Доказательство. Мы имеем
Нг(|/С|, |/С| ж) = ffi(stcr, (st сг) х) = TTi(st сг, (да) * (lkcr)) =
= Нг-,{(да) * (lkcr)) й Н^та-1(1ка).
Здесь в первом изоморфизме мы воспользовались свойством вырезания, во втором — тем фактом, что (<Эсг) * (1к сг) является деформационным ретрактом для (st а) ж, в третьем — гомологической последовательностью пары и, наконец, в четвёртом — изоморфизмом надстройки. □