MG-деформации поверхностей положительной гауссовой кривизны

• Автор: Жуков, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Таганрог
• Количество страниц: 108 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

Глава I НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ

АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

§ 1. Классы функций

§ 2. Сопряженно изометрическая система координат

§ 3. Вычет поверхности

§ 4. Эллиптическая система уравнений с частными производными

§ 5. Понятие индекса функции и его свойства

§ 6. Признаки разрешимости краевых задач А и А

Глава II БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ МО-ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТИ С
КРАЕМ
§1. Понятие бесконечно малой МО-деформации
§2. Система уравнений для бесконечно малой МО-деформации
§3. Бесконечно малые МО-деформации с заданной вариацией инварианта
Р вдоль края
§4. О разрешимости краевой задачи (2.18) - (2.20)
§5. Бесконечно малые МО-деформации при некоторых краевых
условиях
Глава III БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ О-ДЕФОРМАЦИИ С НУЛЕВОЙ ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИЕЙ ВАРИАЦИЙ ГАУССОВОЙ И СРЕДНЕЙ
КРИВИЗН
§ I. Система уравнений для бесконечно малой О-деформации с нулевой
линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн
§ 2. Преобразование системы (3.8)
§ 3. Комплексная запись краевого условия
§ 4. Бесконечно малые О-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн при некоторых краевых
условиях
Глава IV БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ МО-ДЕФОРМАЦИИ ОВАЛОИДА
§ 1. Уравнение бесконечно малых МО-деформаций овалоида
§ 2. Исследование бесконечно малых МО-деформаций овалоида
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
В современной геометрии важным направлением является теория деформаций поверхностей. Существует большое число разновидностей бесконечно малых и непрерывных деформаций, самыми изученными из них являются деформации, сохраняющие длины дуг на поверхности - изгибания. Именно с бесконечно малых изгибаний берет свое начало теория деформаций. Бесконечно малые изгибания впервые появились в конце XIX века в работах Г. Дарбу и Л. Бианки и получили широкое распространение и развитие в XX веке. Так И. Иванова-Каратопраклиева и И. X. Сабитов насчитали более 600 работ, посвященных изгибаниям или бесконечно малым изгибаниям поверхностей и еще несколько сот работ, имеющих близкое отношение к этой теме, написанных только в период с конца 50-х по конец 80-х годов XX века [18]. Изгибания изучались в работах В. Бляшке, С. Э. Кон-Фоссена, Г. Либмана, Р. Зауера, А. Д. Александрова, А. В. Погорелова, II. В. Ефимова, В. Т. Фоменко, И. X. Сабитова, С. Б. Климентова, П. Е. Маркова и многих других.
Повышенный интерес исследователей к изгибаниям объясняется тем, что теория бесконечно малых изгибаний нашла применение в безмоментпой теории оболочек [5], что придало дополнительный импульс к развитию этой темы. Теория изгибаний продолжает развиваться и по сей день, например, в работе В. Т. Фоменко [23].
Одновременно с изгибаниями изучались и другие виды бесконечно малых и непрерывных деформаций [8], которые также имеют самостоятельную научную ценность. Благодаря тому, что изгибания на данный момент хорошо изучены, особый интерес представляет изучение деформаций, отличающихся от изгибаний. Перечислим некоторые из них: ареальные (А-деформации), конформные, геодезические, бесконечно малые деформации с сохранением

асимптотической сети линий или сети линий кривизны, эквиареальные деформации, бесконечно малые деформации сохраняющие объект связности, деформации сохраняющие грассманов образ поверхности (О-деформации), АО-деформации, АБО-деформации [2], [17], [21], [25].
Указанные выше деформации изучались в работах В. Т. Фоменко, И. А. Бикчантаева, М. С. Синюкова, С. Г. Лейко, Л. Л. Бескоровайной,
А. В. Забеглова, О. Н. Бабенко, В. В. Сидорякиной и многих других.
Рассмотрим подробнее О-деформации, которые, по определению, сохраняют поточечно грассманов образ поверхности [26]. Этот вид деформаций изучался В. Т. Фоменко, И. А. Бикчантаевым [26], В. А. Горькавым [7], ими
получен ряд результатов, описывающих свойства О-деформаций двумерных

поверхностей в четырехмерном евклидовом пространстве. Вопросами восстановления поверхности по заданному грассманову образу, тесно примыкающими к О-деформациям занимались также Ю. А. Аминов [1] и
А. А. Борисенко [4].
В случае двумерных поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве существует широкое множество О-деформаций, отличных от тривиальных [7]. Для того, чтобы их изучать, приходится накладывать дополнительные условия на О-деформации. Аналитически этот факт обусловлен тем, что для поверхности положительной гауссовой кривизны изучение О-деформаций сводится к исследованию системы двух дифференциальных уравнений с тремя неизвестными функциями, поэтому в решении системы уравнений имеется большой произвол. Один из способов преодоления этой проблемы - введение дополнительного условия. В случае непрерывных в-деформаций условие накладывают на приращение некоторой функции, а в случае бесконечно малых О-деформаций на вариацию такой функции. Этим способом были введены некоторые виды деформаций, например, Ав-деформации [17], [25], изучавшиеся в работах В. Т. Фоменко, А. В. Забеглова, О.Н. Бабенко. АО-деформациями называются О-деформации, при которых

Допустим что вектор-функция Ф(М;д) непрерывна по совокупности переменных и не имеет нулевых векторов. В этом случае будем говорить, что семейство Ф(М;в) (или вектор-функция Ф(М;0)) гомотопно соединяет поля
Фо(М) = Ф(М;0) и Ф1(М) = Ф(М;1).
Если два поля Фиї можно гомотопно соединить некоторым семейством, то поля ФиТ называются гомотопными.
Будем говорить, что векторное поле Ф является главной мастью поля Ф, если Ф можно представить в виде
Ф = Т + ш,где |У|>|ш|. (1.11)
Теорема 3. (Теорема Руше).
Векторное поле Ф гомотопно своей главной части.
Теорема 4.
Если поля ФиТ гомотопны на дО., то их вращение одинаково.
Из теорем 3 и 4, а также формулы (1.11), вытекает следующее свойство индекса.
4°. Если для функций Л, Л1 и Л2 на контуре ЭГ2 справедливо равенство Л = А, + Л2, и при этом Л | > Л21, тогда ІпсіЛ = ІпсІЛх.
§ 6. Признаки разрешимости краевых задач А и А
Имеют место следующие теоремы [5, с. 202, 284, 286]:
Теорема 5.
Если ІпсіЛ > 0, то:
1) задачи А и А имеют (2ЬгАЛ + ) линейно независимых решений;
2) задачи А и А всегда разрешимы, при этом общее решение задачи А дается формулой
2ЫЛ+
тф) = м)+ с/г),