Кобордизмы вложений гладких многообразий

• Автор: Звагельский, Михаил Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 70 с.

Оглавление
Глава 0. Введение
§1. История вопроса и имеющиеся результаты
§2. Краткое содержание и структура диссертации
Глава 1. Кобордизмы вложений с коразмерностью 2 §3. Специальные подмногообразия
§4. Вложенные раздутия
§5. Основной результат о вложенных раздутиях
§6. Вычисление групп кобордизмов вложений
Глава 2. Кобордизмы вложений ориентированных пятимерных многообразий
§7. Формулировка основного предложения и вывод теорем
§8. Подмногообразия с углами
§9. Описание вложения Д5д и подмногообразия с углами Мбд
§10. Описание вложения /4 и подмногообразия с углами М5Д 48 §11. Основное техническое средство
§12. Доказательство пункта (а) предложения
§13. Доказательство пункта (б) предложения
§14. Доказательство пункта (в) предложения
Литература

Глава 0. Введение
§1 История вопроса и имеющиеся результаты
Изучение подмногообразий гладких многообразий и их классификация с точностью до тех или иных отношений эквивалентности является классической задачей дифференциальной топологии. Среди таких отношений — изотопность, конкордантность, объемле-мая диффеоморфность и т.д. (См. [1], [7], [8], [12], [18], [22]). Различным проблемам, возникающим в этой области, посвящено большое количество работ, в том числе крупнейших топологов.
Как известно, получить изотопическую классификацию подмногообразий оказывается весьма сложно. Поэтому разумно рассмотреть более простые, чем изотопия отношения эквивалентности. Одним из них является отношение вложенной кобордантности.
Определение. Замкнутые подмногообразия U и V многообразия М называются вложенно кобордантными, если существует такое компактное правильное подмногообразие W многообразия М х [0,1], что dW = (U х 0) U (V х 1).
Отношение вложенной кобордантности является отношением эквивалентности на множестве п -мерных замкнутых подмногообразий в М . Множество классов эквивалентности по этому отношению обозначается через EAfn(M) (буква Е —от слова “embedding”). Если в данном определении требовать, чтобы многообразия U ,
V и W были ориентированными, причем dW = (U xO)U(—V х 1) ,

где знак “ — ” означает взятие противоположной ориентации, то получим отношение вложенной кобордантности между ориентированными подмногообразиями. Соответствующее множество обозначается через ЕО,п{М)
Замечание. Множества ЕМп{М) и ЕС1п(М) можно также интерпретировать, как множества классов кобордантности вложений п-мерных замкнутых многообразий в М . (Кобордизмом является вложение абстрактного кобордизма в М х [0,1], продолжающее заданное вложение края.)
Множества ЕЛСп(Ш<1) и ЕС1п(Ша) являются абелевыми группами относительно (подходящим образом определенного) дизъюнктного объединения.
Обозначение. Группы Е//п(М.п+к) и ЕПп{Шп+к) в дальнейшем обозначаются через ЕЛ[п и Е£1п
М. Хирш на топологической конференции в Сиэттле в 1963 году поставил задачу изучения множеств ЕМп{М) (см. [4]). Это самое раннее, из известных мне, упоминание этой проблемы в литературе. Большинство полученных с тех пор результатов касаются вычисления групп ЕМп,к и ЕПп
Перечислю основные результаты по рассматриваемому вопросу.
1. Конструкция Понтрягина-Тома дает следующие изоморфизмы:
ЕЯп,к - Кп+к(МО{к))

Легко видеть, что <9*[а] = 2 [д £ лдЯ , где <9* : Н2Е —» 7Ti50(4) — гомоморфизм из точной последовательности (*) пункта 2. Следовательно сфероид а представляет образующую группы тг2 Е.
4. Вычислим группу H2(P;Z)
Как известно (см. [2]), Н2(Р-,к) = (H2{Ek))J , где к — поле характеристики 0 или нечетной характеристики, а значок J сверху означает J - неподвижную часть. В силу теоремы Гуревича Н2(Е; Z) ~ 1г2Е = Z, и из утверждения пункта 3 следует, что Н2(Р]к) = 0. Таким образом if2(P;Z) — конечная 2-примарная группа. Напишем отрезок точной гомологической последовательности Гизина накрытия s : Е —> Р :
P2(P;Z2) — H2(P;Z2) Hi(P] Z2) — Нг(Е; Z2)
7L2 Z2
где d — умножение на первый класс Штифеля-Уитни пакрытия s, а I — ’’гомоморфизм взятия полного прообраза”. Образующим группы H2(E",Z2) = Z2 является гомологический класс сфероида а, построенного в пункте 3. Пусть t: S2 —> ШР2 — ориентирующее накрытие. Из формулы (**) вытекает, что отобра-
жение s о a: S2 -¥ Р склеивает противоположные точки сферы. Следовательно существует отображение Ъ: RР2 —> Р такое, что s о а = bot. Но тогда s* — нулевой гомоморфизм. (Так как накрытие t индуцирует нулевое отображение С : H2(S2;Z2) —»
P2(RP2;Z2) .) Следовательно d: #2(P;Z2) -* i?i(P;Z2)