Конструкции дискретных многозначных групп и их приложения к теории симметрических графов

• Автор: Ягодовский, Пётр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 124 с. : ил

Содержание
Введение

I. Предварительные сведения

§ 1. Основные определения теории многозначных групп

1.1. Многозначные группы и связанные с ними алгебры

1.2. Гомоморфизмы многозначных групп. Косетные группы и их свойства

1.3. Бикосетные С-алгебры

1.4. Однопорождённые многозначные группы

§ 2. Необходимые определения из теории графов

2.1. Графы и псевдографы

2.2. Симметрические графы. Универсальные симметрические графы

2.3. Примеры симметрических графов
§ 3. Многообразия алгебр
3.1. Многообразия структур ассоциативных алгебр
3.2. Примеры многообразий структур ассоциативных алгебр
II. Линейная деформация дискретных групп
§4. Конструкция линейной деформации групп. Однородные деформации
§ 5. Линейные деформации групп Z3, Z4 и Z2©Z
§6. Классификация однородных деформаций циклических групп
§ 7. Классификация однородных деформаций конечных
абелевых групп
§ 8. Конструкции многозначных групп, основанные
на линейной деформации
III. о-Расширения однопорождённых многозначных групп
§ 9. Симметрические графы и о-расширения бикосетных групп
9.1. Симметрический граф бикосетной группы
9.2. Первая бикосетная алгебра симметрического графа
9.3. Вторая и третья бикосетные алгебры симметрического графа
§ 10. Диаграммы
10.1. Диаграммы симметрического графа
10.2. Диаграммы и бикосетные алгебры
10.3. Альтернативное определение диаграммы Дг(Г, G)
10.4. Д-Последовательности
§11. Диаграммный анализ

Содержание
11.1. Обоснование метода диаграммного анализа
11.2. ГрафС?
11.3. Слабая задача диаграммного анализа для графа ^(Кзд) и его полной группы автоморфизмов
11.4. Полная задача диаграммного анализа для графа ^(Кз^) и его полной группы автоморфизмов
11.5. Восстановление представлений алгебры Лз
11.6. Восстановление алгебры Я
11.7. Восстановление алгебры Я^
§ 12. Универсальные объекты категорий однопорождённых бикосетных
групп с эрмитовыми образующими
12.1. Конструкция универсальных объектов
12.2. Примеры универсальных объектов
§ 13. Комбинаторная деформация многозначных групп
13.1. Комбинаторная деформация. Общие замечания
13.2. Конструкция комбинаторной деформации
13.3. Примеры
IV. Конструкции многозначных групп
§ 14. Обзор конструкций многозначных групп
§ 15. Некоммутативные многозначные группы
Предметный указатель
Литература
Введение
о теме работы
Теория многозначных групп впервые возникла в работах В. М.Бухштабера (см. [5, 7, 9, 10]) и сразу получила ряд важнейших приложений, в частности, в теории многозначных динамических систем с дискретным временем ([8]) и алгебраической комбинаторике ([6]).
Обобщения понятия группы с многозначным умножением возникали под разными названиями и ранее. Таковыми, в частности, являются (обобщенные и обычные) гипергруппы ([20, 24]), табличные алгебры ([2]). Отличие многозначных групп от остальных обобщений состоит в том, что результат произведения двух элементов группы есть не просто мультимножество элементов группы, а мультимножество фиксированной мощности, постоянной для всех пар элементов группы (подробности см. в разделе 1.1). Это условие позволяет получить содержательную теорию.
В теории многозначных групп одной из основных является задача характеризации тех многозначных групп, которые допускают косет- или бикосет- структуры, т.е. допускают описание в виде факторпространств обычных групп (см. подробные определения в разделе 1.2).
Эта задача связана с важной проблемой алгебраической комбинаторики, заключающейся в распознавании С-алгебр, возникающих из схем отношений ([14]). В работе [6] показано, что категория конечных инволютивных многозначных групп и категория комбинаторных алгебр эквивалентны. (Комбинаторные алгебры представляют собой С-алгебры специального вида.) При этой эквивалентности каждой бикосет-группе отвечает С-алгебра, соответствующая некоторой схеме отношений.
Отметим, что принципиальным отличием многозначных групп от обычных является нетривиальность теории многозначных групп с одним образующим — однопорождённых групп. Такие группы играют важную роль в теории многозначных динамических систем с дискретным временем ([8, 11, 12]). Однопорождённые бикосетные группы с эрмитовыми образующими специального вида при эквивалентности из работы [6] отвечают Р-полино-миальным схемам отношений, задаваемым дистанционно-транзитивными графами (см. [4]). Возникающее при этом соответствие дистанционно-транзитивный граф —однопорождённая
бикосептая группа с эрмитовым образующим специального вида допускает естественное продолжение на симметрические графы, которым отвечают однопорождённые бикосетные группы с образующими произвольного вида. Таким образом, задача характеризации косетных и бикосетных групп оказывается связанной с проблемой классификации симметрических и дистанционно-транзитивных графов, а также близких к последним дистанционно-регулярных и строго-регулярных графов (см. [3, 13]). В прило-
Глава П
§ 4. Конструкция линейной деформации групп

Предложение 4.9. Если для коцикла с аргументами из абелевой группы и значениями в Ъ выполняется уравнение (4.6) хотя бы при дополнительном условии (г = —] или к = — у), то его область значений содержит не более чем один ненулевой элемент.
Доказательство. Из уравнения на коцикл (4.4) имеем:
Ц' + д-./')+£(/,/) =£(Л-./)+£(и-/), (4.11)
а из уравнения (4.6), получаем:
])Ц} + Г-]) = Ь(г, ) - -]). (4.12)
Так как все коэффициенты Т(г, ]) неотрицательны и Е(г, 0) = 0, то одно из слагаемых в левой части уравнения (4.11) равно L(—j,j), а другое — нулю. Таким образом, произвольный ненулевой коэффициент Т(г,У) равен элементу главной диагонали а также, по
аналогичным соображениям, Ь(—1,г).
Предположим, что Цу, —у) ф 0 и Ь{—г, г) ф 0. Возможны два случая.
Случай 1: Е(у, () ф 0. Тогда из уравнений (4.11) и (4.12) имеем Ь(— г, г) = Е(у, —у).
Случай 2: Е(у,г) = 0. Тогда Т(/+ у,—у) = Т(у, — у) = £(—г— у,г + у) и, аналогично, .Ц—1,у + /) = Ц—1,/) =Цг + у, —I — у). Заметив теперь, что для любого Л из уравнения Цк — к,к) + Ь(к,— &) = Ь(—к,к) +Т(£,—& + &) следует равенство Ь(к,—к)—Ь(—к,к), получаем, что что все ненулевые эмементы главной диагонали равны между собой, а вместе с ними равны все ненулевые значения коцикла Т. □
Доказательство леммы 4.6. В случае, когда г не элемент второго порядка, утверждение леммы вытекает из предложений 4.7 и 4.9. Если же г имеет порядок 2, то, согласно предложениям 4.8 и 4.9, коцикл Ь имеет в образе не более чем одно ненулевое значения. Но тогда из уравнения (4.4) вытекает уравнение (4.6), из которого, в силу (4.7), и получаем уравнение (4.5). Лемма доказана. □
Ниже всюду будем считать что у каждого 2-коцикла Ь, задающего однородную деформацию, область значений состоит только из нуля и единицы. Возможность такого соглашения вытекает из леммы 4.6.
Комментарий. В работах [7, 9, 10] показано, что алгебры, двойственные к групповым алгебрам многозначных групп, обладают структурой и-алгебр Хопфа. Таким образом, линейная деформация л-групповой алгебры порождает деформацию соответствующей я-ал-гебры Хопфа. Более того, (см. ниже) имеются примеры когда деформация 1-алгебры Хопфа приводит снова к 1-алгебре Хопфа (напомним, что 1-алгебра Хопфа это обычная алгебра Хопфа). Эта деформация не является деформацией алгебр Хопфа в смысле [18]: мы не требуем выполнения аксиом алгебры Хопфа при всех значениях параметра деформации к, а лишь только при хотя бы одном ненулевым значении /г. При этом из конструкции сразу вытекает, что деформация алгебры Хопфа будет снова алгеброй Хопфа при не более чем одном ненулевом значении параметра 1г. Заметим, что групповые алгебры дискретных групп не обладают нетривиальными деформациями в смысле [18].
В работе [17] введено понятие деформации гипергрулпы. Деформацией гипергруппы называется серия гипергрупп, структурные константы которых являются функциями от параметра деформации а 6 А. При этом на множество А не накладывается никаких условий,