О свойствах полиэдральных комплексов и разбиений

• Автор: Глазырин, Алексей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Развертки многогранников и гипотеза Дюрера
1.1 Развертки, основные результаты и гипотезы
1.2 Обобщение теоремы Татта
1.3 Построение шипа и его свойства
1.4 Доказательство основной теоремы
2 Полиэдральные разбиения и теорема об “одинокой” вершине
2.1 Постановка задачи
2.2 Теорема об “одинокой” вершине
2.3 Применение теоремы об “одинокой” вершине
2.4 Подстановочные разбиения
2.5 “Двойная” вершина
3 Многомерная теорема о четырех вершинах
3.1 Теорема о четырех вершинах
3.2 Двумерный случай
3.3 Построение разбиения Делоне с помощью поднятия на параболоид
3.4 Различные типы ушей и связь между ними
3.5 Статус теоремы Шаттемана
3.6 Теоремы о числе ушей
4 Триангуляции куба
4.1 Триангуляции и симплициальные разбиения
4.2 Обзор про триангуляции кубов
4.3 Триангуляции призмоидов
4.4 Построение нерасширяемых множеств
4.5 Разбиение симплициальной призмы
4.6 Нижние оценки для числа симплексов в триангуляциях куба

4.6.1 Общая конструкция и задача линейного программирования
4.6.2 Первая асимптотическая оценка
4.6.3 Вторая асимптотическая оценка
4.6.4 Третья асимптотическая оценка
Список литературы

Список иллюстраций
1.1 Латинский крест (слева) и развертка куба, не являющаяся реберной (справа)
1.2 Страница из Underweysung der Messung Альбрехта Дюрера с разверткой плосконосого куба
1.3 Усеченный куб и его самопересекающая псевдоразвертка
1.4 “Узкий” тетраэдр и его самопересекающая псевдоразвертка
1.5 Один из элементов контрпримера Тарасова
1.6 Куб с шипами - пример Тарасова
1.7 Тетраэдр с шипами - пример Грюнбаума
1.8 Анти-Дюрер гипотеза - пример с невыпуклыми гранями
1.9 Фрагмент Татта, Те и Тз
1.10 Большие грани связаны через грани шипа
1.11 Развертка шипа содержит не менее двух компонент связности .
2.1 Одинокая вершина (0, 0) в разбиении, не являющемся локально конечным
2.2 Три примера подстановок многогранников: подстановочное правило Пенроуза для треугольников (слева), подстановочное правило для двоичных разбиений (центр), подстановочное правило
для “смежных домов” (справа)
3.1 Треугольники с пустыми описанными окружностями не пересекаются
3.2 Соседний по диагонали треугольник с пустой окружностью
3.3 Контрпример к утверждению Шаттемана
3.4 Триангуляция Делоне контрпримера к утверждению Шаттемана

индикатор 1р для выпуклого п-мерного сферического многогранника Р как функцию, которая равняется 1 для всех внутренних точек Р и 0 для всех остальных точек. В дальнейшем будем говорить, что две функции равны, если они равны во всех точках, кроме множества точек меры 0 по Лебегу. Мы называем выпуклый п-мерный сферический многогранник В-многогран-ником, если он содержит два конца какого-нибудь диаметра сферы и А-мно-гогранником в обратном случае.
Теорема 2.2.1. Индикатор А-многогранника не может быть равен линейной комбинации с действительными коэффициентами индикаторов конечного числа В-многогранников.
Доказательство. Мы будем доказывать эту теорему по индукции по размерности п пространства М" Э §п~~1. База индукции: п — 1. Этот случай очевиден, поскольку единичная сфера в К1, а это 3° = {—1,1}, является единственным В-многогранником.
Индукционный переход гораздо более нетрививален. Пусть теорема 2.2.1 верна для всех размерностей меньше п. Предположим, что она неверна для п. Таким образом, есть А-многогранник Р и к В-многогранников С^г,..., для которых выполняется следующее соотношение:
для некоторых коэффициентов а, Є М. Рассмотрим (п — 1)-мерную гиперплоскость, содержащую центр х сферы, пусть для определенности это гиперплоскость {хі = 0}. Для любой / : К" —> Е мы определяем функции /0+ и /0~ следующим образом:
если эти пределы существуют (в рассматриваемых далее нами случаях пределы будут существовать всегда и функции будут определены корректно везде). Пусть Т будет гг-мерным сферическим многогранником, а также пусть То = Т П {х = 0}. То — сферический многогранник меньшей размерности.
Лемма 2.2.2. Для ф = 1т функция фф существует во всех точках К71“1» Более того, фф = 1т0 выполняется в случае, если все внутренние точки Т леэюат в отрицательном полупространстве и фф = 0 во всех остальных случаях.

фф(х2, ...,хп) = Пт ф(—,х2,...,хп),
тп—> оо А
Фо 0‘2, ...,хп)= Пт Ф(-~, а?2, ...,ХП)
га—>оо А