Монотонное упрощение зацеплений и лежандровы графы

• Автор: Прасолов, Максим Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 166 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Прямоугольные диаграммы топологических и лс-жапдровых зацеплений, кос

1.1. Введение

1.2. Прямоугольные диаграммы

1.3. Прямоугольные пути

1.-1. Книжные ирс'дставлеппя

1.5. Классы Внрман-Мопаско

1.6. Трангверсальные зацепления

1.7. Фронтальные проекции лежапдропых зацеплений

1.8. Задание лежандровых зацеплении прямоугольными диаграммами

1.9. Число Торен она Беннекснн
Глава 2. Шунт и ключевая лемма
2.1. Введение
2.2. Ложандрово описание шунгов
2.3. Описание' шунтов на языке прямоугольных диаграмм
2.1. 0-диаграммы
2.5. План доказательства Ключевой Леммы
2.0. Правильный диск Л
2.7. Индукция
2.8. 1 Герекомбшшровнпне сёдел
2.9- Разглаживание складки
2.10. База индукции

Глава 3. Следствия из Ключевой леммы
3.1. Введение
3.2. Независимость упрощений разных типов
3.3. Эквивалентность существований упрощения и шунта .
3.4. Классы Бирман Менаско
3.5. Гипотеза Джонса
3.6. Трансверсальпые зацепления
Глава 4. Прямоугольные диаграммы лежандровых графов
4.1. Введение
4.2. Ложандровы графы
4.3. Обобщённые прямоугольные диаграммы
4.4. Ф.пайпы
4.5. Задание лежандровых графов обобщёнными прямоугольными диаграммами
4.6. Приближение фронтов прямоугольными диаграммами
4.7. Заборные диаграммы
4.8. Заувлепные графы
Вопросы
Литература

Введение
Актуальность темы.
Теория узлов — классическим раздел топологии, который развивается с конца XIX века. Фундаментальный вопрос этой теории - ло классификации узлов н зацеплений в трёхмерном пространстве. Задача распознавания узла и, її частности, тривиального узла алгоритмически решена. Решение предложил Вольфганг Хакен (51. 52] в 1961 і оду. Его идею довели до строгого доказал ельства усилия многих математиков |2, 10, 56, 59, 61, 110, 113|. Однако этот алгоритм очень медленный. Теоретическая оценка на время его работы двойная экспонент о г сложное і и узла.
Хотелось бы найти полиномиальный алгоритм или доказать, что его нет. В связи с этим опишем предпочтительную классификацию углов и зацеплений: функция сложности на множестве представителей, конечный набор канонических представителен и преобразование любого представителя к каноническому, не увеличивающее сложность. Такие преобразования мы будем называть монотонными упрощениями или просто упрощениями. Рассмотрим, пример представления узлов плоскими диаграммами. Сложность плоской диаграммы - количество перекрёстков. Теорема Райдсмайстера описывает три простых движения, которые переводят плоскую диаграмму узла в любую другую. Однако і ривпальнып узел обладает бесконечным числом монотонно неуирощаемых плоских диаграмм: например, диаграмма на рисунке 1 и любая со кратная сумма с собой. Это говорит о том, что подход плоских диаграмм не вписывается в предпочтительную классификацию.
Но для прямоугольных диаграмм теорема о монотонном упрощении
1.5. Классы Бирман-Менаско
По известной теореме Дж. Александера [5| любое ориентированное зацепление можно представить замкнутой косой, ем. пример на рис. 1.13. Другая известная теорема, принадлежащая А.Маркову [11, 811, утвер-
Рис. 1.13. Замыкание косы (сгIгг., ')■
ждает, что замыкания двух кос. эквивалентны как ориентированные зацепления тогда и только тогда, когда они могут быть получены друг из друга преобразованиями, называемыми теперь дии-жениями Маркова. Эти преобразования включают обычное групповое сопряжение, стабилизации и дестабилизации (см. рис. 1.14), которые на алгебраическом языке описываются следующим образом.
Мы обозначим группу кос на и нитях через Н„, а стандартные артп-понские образующие через ол,..., сг,,-]. Вложение : /!„ —> Вп+ состоит в добавлении свободной (п + 1)-й нити и в терминах образующих выг.ля-дит тождественно: сг, <тг , / = 1— 1.
В этих обозначениях стабилизация косы 3 € В„ определяется как иреоГ)[)азоваш1С
0 м- о.(.Да = %
п])пчем стабилизация положительна или отрицательна в зависимости