Многообразия с интегрируемыми почти трансверсальными структурами высшего порядка

• Автор: Смолякова, Лариса Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 116 с.

1 Категория многообразий над алгеброй Вейля А, моделируемых А-модулями вида А" ® В"‘

1.1 Категория многообразий над алгебрами

1.2 Расслоение Вейля

1.3 А-гладкие отображения между А-модулями вида Апф

В”1

1.4 Расслоение д-скоростей

1.5 Категория (А, В)у-Л4ап слоеных АпфВт-многообразий

2 Аналитические продолжения и лифты геометрических структур на расслоения Т,1М

2.1 Аналитические продолжения морфизмов слоений :

М -> Т"АД

2.2 Действие функтора Т'1 на категории расслоенных векторных пространств

2.3 Естественная эквивалентность функторов Т1Н о Т>12 и
Т'Ч о Т>‘1
2.4 Лифты функций и векторных полей на расслоение Т11М
2.5 Лифт проектируемой линейной связности на Т‘‘М
3 Специальные классы многообразий, моделируемых А-модулями вида А" ф В”1
3.1 Радиантные А” ф Вт-многообразия

3.2 Ап © Вт-многообразия, каноническое Ь-слоение которых порождается субмерсией
4 Препятствия к существованию А-гладких связностей на многообразии М1
4.1 (/-когомологии слоеного многообразия М1
4.2 А-гладкие связности и классы Атьи-Молино

Актуальность темы. Многообразия с интегрируемыми почти трансверсальными структурами принадлежат к классу гладких многообразий, моделируемых модулями над локальными алгебрами Вейля. Теория многообразий над ассоциативными коммутативными алгебрами тесно связана с геометрией расслоений струй и теорией дифференциально-геометрических объектов высших порядков на многообразиях, геометрией и топологией слоений.
Коммутативные ассоциативные алгебры начали широко применяться в дифференциальной геометрии начиная с работ А.П. Котельникова [21], Э.Штуди [103], В. Бляшке [3], П.А. Широкова [45].
A.П. Норденом [31], [32], [33] алгебры комплексных, двойных и дуальных чисел применялись при изучении биаксиальных, биаффин-ных и бипланарных пространств, линейчатой геометрии неевклидовых пространств. Неевклидовы пространства над алгебрами изучались Б.А.Розенфельдом [37]. Геометрии и топологии многообразий над различными коммутативными ассоциативными алгебрами и реализующих их вещественных многообразий посвящены работы А.П. Широкова [40], [42], [43], В.В. Вишневского [9], [10], [12], Г.И. Кручковича [22], [24], И.Ванжуры [107], А.С.Подковырина [35],
B.В. Шурыгина [49], [54], М.А. Малахальцева [28], [29], A.B. Бояршиновой [4], Т.Н. Гайсина [15] и других авторов (см. библиографию в [42], [12], [43], [54] а также в [13]).
Структуры гладких многообразий, моделируемых модулями над локальными алгебрами в смысле А. Вейля [108], [76] естественно возникают на различных расслоениях струй над вещественными гладкими многообразиями. А.П. Широковым [42] было установлено, что расслоение А-скоростей (А-близких точек) Вейля ТАМп п-мерного гладкого многообразия Мп, определяемое локальной алгеброй Вей-

1.5 Категория (А, В)/—Мап слоеных А" ф В:"-многообразий
Имеется естественная проекция
< : Т"М э Л! н- >£,/ € М, (1.64)
по отношению к которой Т11М является локально тривиальным рас-

слоением со стандартным слоем Вто= Т„3Кт. В локальных координатах на Т;1М, определяемых АпфВт-картой ((7Г/Х)—1 (£/), №), проекция (1.64) задается соотношениями (ХУ<') (X1). При этом имеет
место коммутативная диаграмма
т>1м ^4 т>1м'
<г I Иг (1-65)
т£м Щ т£м'
Таким образом, отображение Т'1(р : Т'1М —»■ Т,1М' является морфизмом расслоений 7Г[г : Т11М —> Т^М и 7Г& : Т'1М' —» Т^М'. Однако, как это следует из уравнений (1.35), произвольное А-гладкое отображение F : Т,1М —*■ Т,1М' не является морфизмом расслоений 7г{|.: Т,1М —> Т£М и 7г{), : Т'1М' —> Т^М1 и, следовательно, не определяет никакого отображения Гг^М Т^М'. Причиной этого являет-

ся то, что подмодуль ВШС Ап©Вт не является инвариантным относительно группы СЬ(А”©Вга, А) автоморфизмов А-модуля А"фВт. В частности, на произвольном А-гладком многообразии, моделируемом А-модулем А” ф Вт, не имеется слоения, соответствующего

подмодулю Вт.
В настоящем параграфе вводится категория (А, В)/—Мап, объектами которой являются А” ф В"'-многообразия, несущие канониО О
ческие В-слоения, соответствующие подмодулям В”1, а морфизмами — А-гладкие отображения, являющиеся слоеными по отношению к указанным каноническим слоениям.