Двойственная геометрия регулярной гиперповерхности в пространстве аффинной связности

• Автор: Христофорова, Анастасия Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Чебоксары
• Количество страниц: 110 с.

■■ -ч>
Оглавление
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
1. Постановка вопроса
2. Актуальность темы
3. Цель работы
4. Методы исследования
5. Научная новизна полученных результатов
6. Теоретическая и практическая значимость
7. Апробация
8. Публикации
9. Вклад автора в разработку избранных проблем
10. Структура и объем работы
11. Некоторые замечания
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
ГЛАВА I. ПОЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ
§ 1. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на гиперповерхности
1.1 Расширенное пространство аффинной связности
1.2 Дифференциальные уравнения гиперповерхности 21 ’
1.3 Поля фундаментальных геометрических объектов на гиперповерхности
1.4 Поля охваченных геометрических объектов на гиперповерхности ...23 § 2. Двойственность геометрии регулярной гиперповерхности
К-1 с
§ 3. Инвариантные оснащения регулярной гиперповерхности
3.1 Оснащение гиперповерхности в смысле А. П. Нордена
3.2 Оснащения гиперповерхности в смысле Э. Картана и
Э. Бортолотти
3.3 Двойственность оснащения гиперповерхности в пространстве аффинной связности
1. Двойственность нормализации гиперповерхности
2. Двойственность оснащений гиперповерхности пространства аффинной связности в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти
ГЛАВА И. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ
§ 1. Двойственные аффинные связности на гиперповерхности в пространстве аффинной связности

1.1 Двойственные аффинные связности на нормализованной гиперповерхности
1.2 Двойственные аффинные связности на аффинно нормализованной-гиперповерхности
§ 2. Приложение аффинных связностей к геометрии сетей на
гиперповерхности в пространстве аффинной связности
§ 3. Двойственные проективные связности на гиперповерхности:
3.1 Двойственные прективные связности на оснащенной в смысле
Э. Картана гиперповерхности
3.2 Двойственные проективные связности на оснащенной в смысле
Э. Бортолотти гиперповерхности
§ 4. Сужения проективных связностей на гиперповерхности
пространства аффинной связности
§ 5. Двойственные нормальные связности на гиперповерхности
5.1 Двойственные нормальные связности на нормализованной
гиперповерхности
5.2 Нормальные связности на оснащенной в смысле Нордена-Картана
и Нордена-Бортолотти гиперповерхности Кп_, сг Ап п
ГЛАВА III. ДВОЙСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ПРОСТРАНСТВЕ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ
§ 1. Дифференциальные уравнения распределения гиперплоскостных элементов
1.1 Поля фундаментальных геометрических объектов на
распределении гиперплоскостных элементов пространства аффинной связности
1.2 Двойственный образ распределения гиперплоскостных элементов..
1.3 Инвариантные оснащения распределения гиперплоскостных
элементов в пространстве аффинной связности
§2. Двойственные пространства аффинной связности, определяемые распределением гиперплоскостных элементов
2.1 Двойственные пространства аффинной связности Апп и Ап п
2.2 Двойственные обобщенно сопряженные аффинные связности на регулярном распределении гиперплоскостных элементов
§ 3. Двойственные аффинные связности на распределении гиперплоскостных элементов в пространстве аффинной связности
3.1 Двойственные аффинные связности на нормализованном
распределении гиперплоскостных элементов
3.2 Двойственные пространства аффинной связности на оснащенном в смысле Нордена-Картана распределении гиперплоскостных элементов
ЛИТЕРАТУРА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
1. Постановка вопроса.
В первой половине XX столетия благодаря эрлангенской программе Ф. Клейна в теории подмногообразий в классических однородных пространствах появилось несколько различных направлений, соответствующих различным группам преобразований (проективной, эквиаффинной, центроаффинной и т.д.)- Целью исследований в каждом случае было построение инвариантной нормализации поверхности и определение индуцированных этой нормализацией геометрических структур.
Аффинная и в особенности проективная дифференциальная геометрия подмногообразий (поверхностей, распределений) стала областью исследований многих геометров. Существенные результаты в геометрии гиперповерхности принадлежат Нордену А. П. [39] и его школе, связаны с методом нормализации; Измайлов В. Д. [20], [21] построил аффинную нормаль гиперповерхности в пространстве аффинной связности; Лаптев Г. Ф. разработал в инвариантной форме дифференциальную геометрию гиперповерхности в многомерном пространстве проективной связности с кривизной и кручением [23]; основные факты аффинной геометрии поверхности были распространены на гиперповерхность (в центроаффинном пространстве) в работах Фернандеса [88] и Лаугвитца [91]; задачи инвариантного оснащения подмногообразия в многомерных пространствах рассматривали
А. Е. Либер [31], П. И. Швейкин [80], Г. Ф. Лаптев [28], Н. М. Остиану [41], Воронцова Н. С. [8] и другие.
В дифференциальной геометрии подмногообразий важнейшее место занимает теория связностей, берущая начало от работ Т. Леви-Чивита [92] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии, Г. Вейля [96], Р. Кенига [90], Э. Картана [85], В. В. Вагнера [7] и Ш. Эресмана [87], И. А. Схоутена [95]. Первые применения связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э. Картан [84]; дальнейшее развитие теория связностей получает в методе нормализации Нордена А. П. [39], позволяющем в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Лаптев Г. Ф., следуя идеям Э. Картана, дал строгое определение пространства аффинной связности [24], [26], [27]. Широков П. А. и Широков А. П. исследовали локальные строения подмногообразия в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении [81]. В работе Рыбникова А. К. [43] рассмотрены некоторые вопросы реализации аффинных связностей на оснащенных гиперповерхностях аффинного пространства.
В настоящее время теория связностей представляет собой обширную область исследования расслоенных пространств благодаря работам Чакма-зяна А. В. [79], Лумисте Ю. Г. [32]-[37], Евтушика Л. Е. [11]-[16], Столярова А. В. [47], [48] и ряда других геометров.

Так как
К (вк ~ ~~77) ’ 2 77 +
то с использованием (1.44), (1.74), (1.77), (1.78) находим
г,°-~№+4+).
2 п +
Таким образом, функции Т’И',Т}°, определяющие нормализацию Фуби-ни (см. пример 1) регулярной гиперповерхности Уп_} с: „, задают на ней
двойственные относительно инволютивного преобразования /: со^ —»
(см. (1.39)) поля нормалей первого и второго родов соответственно.
Пример 4. В случае регулярной гиперповерхности Уп_{ а Ап п с полем
симметричного тензора Л"- с использованием теории двойственности, в силу соотношений (1.39), (1.44), (1.28), (1.65) - (1.69), (1.77), справедливо
ЇД ’=(.« + - л'Л) = .
Ьу =-Ьи+А!*пЬ,А%, п +1 п-1 и + 1 ^ ті +
^ +-4тл>а.

тогда по закону (1.74) находим
И? =-Л"„.(-Г„*) = (~1Г‘) + -^-ь, (179)
Таким образом, функции (-И7,'), й7,0 определяют нормализацию Вильчинского (см. пример 2) регулярной гиперповерхности Ти_1 с Ап п с
полем симметричного тензора Л" и задают на ней двойственные относительно инволютивного преобразования /: со^ » оо^ (см. (1.39)) поля нормалей первого и второго родов, называемых первыми и вторыми директрисами Вильчинского соответственно.
Отметим, что две инвариантные внутренним образом определенные двойственные нормализации (см. примеры 3 и 4) в каждом центре А0 є Уп_х определяют однопараметрический пучок нормалей первого рода с вершиной в точке А0 и двойственный однопараметрический пучок нормалей второго рода с (т7-3)-мерной вершиной в текущей касательной гиперпло-