К решению обобщённой проблемы Александрова-Лефшеца-Бегля

• Автор: Каримов, Умед Хилолович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 118 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Ацикличность, асферичность, клеточноподобность.

1.1. О надстройках над нестягиваемыми компактами тривиального шейпа

1.2. О проблеме Бествины-Эдвардса

1.3. О фундаментальной группе факторпространства К3 по континууму Кейса-Чемберлина

1.4. Примеры двумерных сферичных односвязных

клеточноподобных континуумов Пеано

1.5. Нестягиваемые континуумы Пеано, у которых гомотопические и гомологические группы тривиальны
1.6. Пример когомологических многообразий, которые не являются гомологически локально связными

1.7. Выводы к главе

2 Покрытия топологических пространств.
2.1. Основные определения и леммы
2.2. Критерий гомеоморфности компактных метрических пространств
2.3. Критерий тривиальности шейпа компактных метрических
пространств
2.4. Об объединениях и пересечениях односвязных плоских подпространств
2.5. О теореме Хелли
2.6. Выводы к главе
3 Нервы покрытий некоторых классов прстранств.
3.1. Ацикличные подпространства плоскости
3.2. Открытые покрытия одномерных ацикличных пространств.

3.3. Ацикличный клеточноподобный компакт, все мелкие покрытия которого цикличны
3.4. Нервы покрытий монотонных ретрактов
компактов
3.5. Нервы покрытий регулярных образов АИЯ пространств
3.6. Выводы к главе
Заключение
Литература

Введение
Актуальность работы.
Проблемы, обсуждаемые и решаемые в диссертации, являются предметом комбинаторной топологии общих пространств - пространств со сложной, чаще всего с локально не полиэдральной структурой и с произвольными непрерывными отображениями.
Ценные научные результаты очень часто получаются на стыке противоречий, понимаемых в широком смысле этого слова. Одним из таких противоречий в математике является противоречие между непрерывностью и дискретностью. Такие "противоречия"возникают при построении естественных отображений из топологии в алгебру. Топологическим пространствам того или иного класса естественно сопоставляются различные алгебраические объекты: группы (ко)-гомологий, гомотопические группы, кольца непрерывных функций и т. д. Естественные отображения не обязательно функториальны, например, каждому пространству естественно сопоставить группу его автогомеоморфизмов и это сопоставление не функториально. Как известно, отображение естественно, если оно объективно. Такие отображения строятся обычно несколькими математиками независимо - либо параллельно, либо последовательно. Достаточно упомянуть группы когомологий Александера-Спеньера-Колмогорова, гомологии Стинрода-Ситникова, гомологии Бореля-Мура. Гомотопические группы были построены Пуанкаре (в размерности 1) и Гуревичем. Топологическим пространствам естественно сопоставляются также дискретные числовые инварианты: Эйлерова характеристика пространства, число Люстерника-Шнирельмана, различные размерности, которых в настоящее время известно достаточно много, в том числе такие, как размерности Менгера-Урыссона, Лебега-Чеха, трансфинитные размерности и другие кардинальнозначные инварианты (теснота, вес, калибр, число Суслина и т.д.).

Если С— свободная группа и множество элементов {Ьг}Г=1 есть базис группы С, то {хг}"=1 также являются базисом группы (С.
Доказательство. Легко проверить по индукции, что множество элементов:
XI = Ъъ Х2 = Ь2,
х3 = 62Мз,
Х4 = ,
Х2п-1 ~ ^2п—2^2п—3 • ' ' Ь2Ь1&2п-Ъ
^2п = Ь2пЬ^1Ъ21 • ' ' ^-
удовлетворяют условию леммы. □
Выберем натуральное число п так, что п > т. Рассмотрим проекцию / группы 7Г1(А+ П А~) на свободную группу Р2)г с 2п образующими 61,62,- , Ь2п, которая определена следующим образом: /(ах) =
Ь,/{а2) = &2 *1 • • Ч /(а2тг—1) = 62гг-Ь /(а2гг) = При г > 2П,/(аг) =
е, здесь е— это нейтральный элемент Р (такая проекция непрерывным отображением Л+ П Л- на первые 2п окружностей). Тогда /(а) = ЬЬ2 - ■ • Ь2пЪ1Ъ21 • • • б^1. Так как /— это гомоморфизм и по нашему предположению с1(а) = гга, то с/(/(а)) < т. В то же время, по Лемме 1.4.
6162 • • • бгпб^б^1 • • • б^1 = [хь х2][х3, х4] [х2п_ь х2п]
и по следующей Лемме:
Лемма 1.4.2. ( [115], [54], р.137). Если Р есть свободная группа с базисом хь х2,... х2„ элементы щ,и2,..., и2т группы Р, такие, что
[х 1, Х2] [х3, Х4] • • • [х2п_1,х2„] = [и1,и2][щ,щ] • ■ • [и2т-1,и2т]
тогда т > п.
следует, что с1(/(а)) = п. Это противоречит выбору числа п. Поэтому элемент [а]— не нулевой элемент ядра Кег(г) и Н2{Х) ф 0.
Так как яд (Л') = 0, по Теореме Гуревича 7Г2 = Н2 и 7г2(Х) ф 0.
В 2011 году это построение было упрощено. Ниже описывается эта конструкция и приводятся необходимые доказательства. Схематически это пространство, обозначим его символом АС{31), изображено на рис. 1.1.
Построим компакт АС(в1) следующим образом. Пусть У— это одноточечная компактификация счётного числа окружностей {5*феп}п6м (еп—